Проверочные и контрольные работы по математике

Выбранный для просмотра документ prover.r-ty_1_kl.doc

1. Разбей множество на части по форме:

2. Разбей множество на части по размеру:

3. Разбей множество на части по цвету:

4. Напиши соседей числа:

__ 5 __ __ 8 __ __ 3 __ __ 7 __ __4 __ __ 6 __ __ 2 __

5. Закрась треугольник синим цветом, квадрат — жёлтым, круг — зелёным, прямоугольник — красным,

а овал — оранжевым.

6. Закрась кружки: под ц.3 и ц.9 – синим цветом, под ц.6 – зелёным, под ц.0 и ц.10 – красным, кружок

перед синим – жёлтым, кружок за зелёным – чёрным, кружок перед зелёным – коричневым, кружок

между красным и жёлтым – оранжевым цветом.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Найди равные множества. Обведи их.

Нарисуй столько же кружков.

Итоговая контрольная работа за 1 класс

Для детского сада купили 9 мячей, а кукол – на 3 меньше. Сколько всего игрушек купили для детского сада?

Мелочи для дома 118. Товары для дома, дачи, косметика и много всего полезного. Архив

Клася » 06 окт 2018, 00:03

Привет, меня зовут Евгения, приглашаю всех в очередной выкуп всякой приятной мелочи для дома, дачи, автомобиля, косметики и всего, что душа пожелает производства России, Китая, Южной Кореи, Японии. Доставка из г. Новосибирск.

Условия закупки
минимальная сумма заказа: 30 000
сбор товара рядами: нет
орг %: 16
транспортные расходы: при превышении 4% от общей суммы заказа — превышающая сумма делится пропорционально между всеми Участниками
пересорт и возврат брака: пересорт возможен на аналогичный товар. Либо возможна смена упаковки.Брак встречается крайне редко, возврат поставщику за счёт Участника
форма оплаты: карта Сбербанка
раздача заказов: во всех офисах и пунктах раздач
отзывы: Супер-Пупер отзывы
Правила сайта

Подписаться на закупку — 3680 Участников уже подписалось.

У поставщика постоянное добавление ассортимента, поэтому можно подписаться на закупку в первом посте темы, поставив галочку в окошечке, и Вы не пропустите открытие следующей закупки.

Выбирать можно на сайте http://gilmarket.ru/ , ассортимент просто огромнейший и постоянно пополняется. Пишите ссылку на нужную позицию в теме закупки, всё добавлю в каталог Пожеланий. (из каталога 18+ некоторые позиции добавляю без фотографий)

Мои актуальные ЗАКУПКИ .
Мой Пристрой.
Сказать Спасибо

Математика 5 класс Учебник Никольский Потапов

‘ 1. Н8?УГ^Льны9 и нуш- Вот еще прюверы: 5031 =5 — 1000 + 0.100 + 3 — 10+ I • 1 = 5 • 1000 + 3 • 10+ 1 3700 = 3 . ККЮ t 7.100 + о • 10 + о . 1 =3.10(Ю + 7 • 100. 1. ъ “Ы Ъе ш СП СП СП СП СП ЕЛ Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной системе? Как называют эти знаки? Какие цифры могут стоять в любом разряде числа, кроме высшего? Какие цифры могут стоять в высшем разряде числа? Прочитайте следующие числа: 10. 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000, 10 000 000. Запишите следукмдие числа: сто тысяч, миллион, десять тысяч, сто миллионов, миллиард, десять миллионов, сто миллиардов, десять миллиардов. Запишите и про»титайте число: а) двузначное; 6) трёхзначное; в) четырёхзначное; г) семизначное. Запишите первое и последнее в натуральном ряду число: а) двузначное; б) трёхзначное; в) четырёхзначное. Сколько натуральных чисел: а) однозначных; б) двузначных; в) трёхзначных? В записи каждого из чисел назовите (щфры разрядов единитт, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч и т.д. а) 123; б) 1240; в) 102; г) 4397; д) 13 487 905; е) 2 000 009. Запишите число, состоящее из: а) 1 тысячи, 2 сотен, 3 десятков и 5 единиц; б) 5 десятков тысяч, 9 тысяч, 7 сотен и 4 единиц; в) 8 сотен и 6 десятков; г) 7 сотен тысяч и 3 десятков. Прочитайте следую|цие числа, запишите их в виде суммы раз-ря/щых слагаемых: а) 48; Л) 102; и) 6401; б) 159; е) 150; к) 5060; в) 2945; ж) 4067; л) 12 007; г) 34 196; 3) 10 504; м) 104 090. Запишите числа: а) триста двадцать; б) сто тридцать тысяч пятьдесят; 1. и ну«ь в) двести восемь тысяч двадцать четыре; г) два миллиона три тысячи; д) одиннадцать миллионов двенадцать. ПГР Запишите все трёхзначные числа без повторения одинаковых цифр, в записи которых используются цифры: ЕЗ Запишите все трёхзначные числа, в записи которых используются цифры: если разрешается повторять одинаковые цифры в записи одного числа. а) В книге 120 страниц. Сколько цифр напечатали для нумерации страниц, начиная с третьей страницы? б) Для нумерации страниц, начиная с третьей, использовано 169 цифр. Сколько страниц в книге? Сколько раз используется каждая из цифр от 1 до 9 в записи первых 99 натуральных чисел? Если в записи многозначного числа какие-либо цифры заменены буквами, то над записью числа ставят черту. Например, запись о5ь7 означает, что это число содержит а тысяч (a?t0), 5 сотен, f> десятков и 7 единиц, то есть a5f>7 = а • 1000 + 5 • 100 + ft • 10 + 7. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых числа: а) 5ft; б) аЬ] в) 1с8; г) a9ft; д) аЬс\ е) 1aft8; ж) a9ft2; з) abed. Ио-См EI3 Найдите в учебнике, справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы: а) Известно, что цифры 0, 1, 2, 3, . которые мы используем в вычислениях, называют арабскими, но придумали их не арабы. Кто придумал эти цифры? б) Почему цифры о, 1,2, 3, . называют арабскими? 10 1. Иптур>ши,иы*’ ЧИС»- и «JVJ4> Сравнение натуральных чисел Числа можно сравнивать при помощи HaxypiUibHoro ряда. Из двух натуральных чисел больше то, которое в ряду натуральных чисел стоит правее (дальше от начала). Например: число 8 больше ‘шсла 5, число 3 больше числа 1, так как в ряду натуральных чисел Я = ,0 -■ 7 , » ^ I 8 правее 5, а 3 правее 1. Натуральные числа можно сравнивать по их десятичной записи. 1) Из двух натуральных чисел больше то, у которого разрядов больше. Например, 1001 больше 999 потому, что число 1001 содержит разрядов больше, чем число 999. 2) Из двух натуральных чисел с одинаковым числом разрядов больше то, у которого больпхе первая (слева направо) из неодинаковых цифр’. Например, 2821 больше 2819 потому, что у пих одинаковое число разрядов, цифры четвёртых и третьих разрядов одинаковые, а цифры второго разряда у них разные: у первого числа больше, чем у второго. 3) Два натуральных числа равны, если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых разрядов равны. Например, числа 37 934 567 373 и 37 934 567 373 равны. В этом легко убедиться, записав их одно под другим: 37 934 567 373 37 934 567 373. Числа иногда удобно обозначать буквами латинского алфавита (см. форзац). Если число а больше числа Ь, то пишут а>Ь и говорят: «а больше 6», или пишут Ь 0. Число, большее нуля, называют положительным. Поэтому натуральные ^гисла называют ещё целыми положительными числами. Число нуль также целое, но не положительное. Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами, так как, кроме неотрицательных чисел, есть ещё и отрицательные числа. Они будут изу11ат1.ся в дальнейшем. Если к ряду натуральных чисел приписать слева число О, то получится ряд неотрицательных целых чисел: О ; I, J. ■ 4; д)26>21; m Запишите неравенство: а) 3 больше 1; в) 17 больше 16; д) 100 больше 31; ^3 Верно ли поставлены знаки сравнения: а) 123>121: б) 1000 13 999; г) 377551 105 978; е) 756 453 ) между числами: ЕИ Ъв а) 123 и 123; в) 253 и 252; д) 102 и 1000; ж) 4687 и 5687; и) 641 и 700; л) 1207 и 1207; Сравните числа: а) 60 и 66; г) 458 и 549; ж) о и 687; к) 6766 и 6666; Что больше: а) 20 см или 15 см; в) 1 м или 99 см; 6) 169 и 196; г) 348 и 299; е) 1250 и 999; 3) 154 932 и 9999; к) 5906 и 5096; м) 4090 и 4900. 6) 354 и 396; д) 302 и 3002; 3) 932 и 0; л) 8507 и 8570; е 0 в) 857 и 858; е) 1345 и 345; и) 649 и 650; м) 6080 и 6080. б) 120 см или 1 м; г) 5 м 25 см или 526 см? Миша старше Маши, а Маша старше Кати. Кто старше: Миша или Катя? Саша моложе Даши, а Даша моложе Коли. Кто моложе: Саша или Коля? Сосна выше ели, а ель выше берёзы. Какое дерево самое высокое? самое низкое? Арбуз тяжелее яблока, и дыня тяжелее яблока. Можно ли по этим данным определить, что тяжелее: арбуз или дыня? Книга дороже тетради, и альбом дороже тетради. Можно ли по этим данным определить, что дороже: альбом или книга? X ^ Сложение, Законы сложения Чтобы сложить числа 5 и 3, можно рассуждать так. Рассмотрим ряд натуральных чисел, отметим в этом ряду число 5 и отсчитаем от него вправо 3 числа. f 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . Получится число 8, называемое суммой чисел 5 и 3: 8 = 5 + 3. Числа 5 и 3 называют слагаемыми. 13 г .П., . Но можно отметить в натуральном ряду сначала число 3 и отсчитать от него вправо 5 чисел. Получится то же число 8, называемое суммой чисел 3 и 5: 8 = 3*5. То есть сумма не меняется от перестановки слагаемых: 3 + 5 = 5 + 3. Для любых натуральных чисел а и Ь верно равенство: а + ft = ft + а, выражающее переместительный закон сложения: От перестановки слагаемых сумма не меняется. Сложим теперь три числа 3, 2 и 4. Для этого, применяя уже известный способ, отметим в натуральном ряду число 3, отсчитаем от него вправо 2 числа — получим число 5, отсчитаем от него вправо ещё 4 числа, получим число 9. 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . Следовательно, (3 + 2) + 4 = 9. Отметим в натуральном ряду число 3, отсчитаем от него вправо 2 + 4 = 6 чисел. Получим также 9: 3 + (2 + 4) = 9. Таким образом, мы получили равенство (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4), показывающее, что если к сумме (3 + 2) прибавить 4 или к 3 прибавить сумму (2 + 4), то результат будет один и тот же. Для любых натуральных чисел а, ft и с верно равенство: (а ♦ ft) + с = а + (ft + с), выражающее сочетательный закон сложения: Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел. Сочетательный закон сложения позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок: 3 + (2 + 4) = (3 + 2) + 4 = 3 + 2+ 4. 14 III Для любого числа а верны равенства: а + О = а; О+ а = а. Поэтому переместительный и сочетательный законы сложения верпы для любых неотрицательных чисел. Например: 5+ 0 = 0+ 5, (5 + 3)+ 0 = 5+ (3 + 0). В сумме нескольких слагаемых можно менять слагаемые местами и заключать их в скобки любым образом. Например, верны равенства: 1 + 2 + 3 = 3 + 2 + 1; 1 + 2 + 3 + 4 = (1 + 3) + (2 + 4). Докажем .эти равенства, применяя на каждом этапе рассуждений переместительный или сочетательный закон сложения: 1 + 2 + 3 = 1 + (2 + 3)=1 + (3 + 2) = (3 + 2)+1 = 3 + 2+1; 1 + 2 + 3 + 4=1+(2 + 3) + 4=1+(3 + 2) + 4 = = (1 +3) + 2 + 4 = (1 + 3) + (2 + 4). Рассмотренные законы сложения широко применяются для упрощения вычислений. Например: 23+118+ 17 = (23 + 17)+ 118 = 40 + 118 = 158. [Ц «Ьё Q2 Запишите равенство, выражающее переместительный закон сложения. Сформулируйте этот закон. Запишите равенство, выражающее сочетательный закон сложения. Сформулируйте этот закон. По каким правилам складывают числа с числом О? Сложите числа: а) 20 + 30; г) 400 т 300; ж) 170+130; Вычислите: а) 60 + 24; г) 45 + 55; ж) 200 + 687; к) 606 + 160; б) 33 + 67; Д) 22 f 108; 3) 900 + 57; б) 35+12; д) 302 + 200; 3) 132 + 450; л) 3070 + 105; в) 67 + 33; е) 95 I 6; и) 23+100. в) 57 +13; е) 134 + 400; и) 649 + 101; м) 6009 f 1001. Определите порядок выполнения действий при вычислении суммы: а) (725 + 48) + 809; б) 725 + (48 + 809). 15 m Примените законы сложения для упрощения вычислений; а) 46 + 22 + 18; в) 138^36 + 22; д) 664 + 13 + 87: ж) 7+ (93+ 456): Ш Вычислите сумму: а) 78 + 89 + 22; в) 437 + 39+ 13; д) 784 + 79 + 21; ж) 122 I (73 1 58): ЕП б) 19 + 56+11; г) 456 I 22 т 78; е) 134 + 408+ 166; 3) 42+ (58+ 495). б) 43 + 96 + 57; г) 353 + 22 + 7; е) 765 + 208+ 135; 3) 144 f (56 1 99). ВЗ При сложении чисел бывает удобно слагаемое представить в виде суммы. Например: 75+ 109 = (74+ 1)+ 109 = 74 + (1 + 109) = 74 + 110= 184 или 97 + 28 = 97 + (3 + 25) = (97 + 3) + 25=100 + 25=125. Используя этот приём, вычислите: а) 399 + 26; 6)819+153; в) 256 + 98; г) 48+ 197; д) 305 + 239; е) 999 + 536; ж) 7499 + 137; з) 893 + 98; и) 1999 + 48; к) 2998 + 56; л) 325 + 3997; м) 423 + 4999. Выполните сложение «цепочкой» по образцу^. 45 + 5+17 + 20 = 50 + 17 + 20 = 67 + 20 = 87. а) 8 + 9+13 + 22; в) 37 + 33+19 + 3; д) 4 + 6+19 + 21; ж) 38 + 2 + 5 + 28; б) 3 + 6 + 35+ 16; г) 513 + 2+15+17; е) 5 + 25 + 8+101; 3) 164 + 6 + 9 + 12. Вычитание Разностью чисел а и Ь назыш)ют такое число, которое ири сложении с числом Ь даёт число а. Число а называют уменьшаемым, число Ь — вычитаемым. Разность чисел а и 6 обозначают а-Ь. Таким образом, (а-Ь) + Ь = а или а — Ь + Ь = а. Покажем, как, используя натуральный ряд чисел, можно найти разность натуральных чисел а и Ь в случае, когда а > Ь. 16 Пусть надо найти разность 9-6, Отметим в натуральном ряду число 9 и отсчитаем от него влево шесть чисел. Получим число 3. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . Легко видеть, что сумма чисел 3 и 6 равна 9. 3 + 6 = 9. Поэтому число 3 есть разность чисел 9 и 6, т. е. 9-6 = 3. Отметим, что для любого числа а верны равенства: а-0 = «, потому что « + 0 = а; а-а = 0, потому что 0 + а = а. ; Замечание. С помощью неотрицательных целых чисел можно вычислить разность а и Ь только в том случае, когда а больше или равно Ь (пишут: а’^Ь). В дальнейшем будут введены новые числа — отрицательные, с помощью которых можно будет из меньшего числа вычесть большее. Какое число называют разностью чисел а \л Ы В равенстве 35-12 = 23 назовите уменьшаемое, вычитаемое, разность. Как обозначают разность чисел а и Ь, если а>Ы ^3 Чему равна разность равных чисел? Ъз Чему равна разность а — О? EJ2 Убедитесь с помощью натурального ряда, что 12-8 = 4. ЕО Вычислите: а) 40-30; 6)97-67; в) 67-33; г) 500-200; д) 200-108; е) 90-86; ж) 170-130; з) 600-87. Восстановите равенство, вставив пропущенное число (59, 60): 1-4д а) 63-45+ . =63; в) 92- . +45 = 92; д) (45+12)- . =45; ж) (. +73)-31 =73; ЕЗ а) 20+ . =30; б) в) 40- . =23; г) б) . -51+51=76; г) 56- . + . =56; е) (. +-16)-16 = 47; 3) (72+ . )- . =72. + 47 = 50; -32= 10. 17 m Найдите неизвестное число, обозначенное буквой х: а) 43 + х = 64; б) х + 45 = 59; в) 34-х = 26; г) х-53 = 35. Е1 Найдите разность чисел 46 и 22. Прибавьте к уменьшаемому и вычитаемому по 1; по 2; по 3 и в каждом случае найдите разность. Сравните полученные результаты. Докажите, что от прибавления к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа разность не изменяется. То есть если а — Ь = с, ТО <а л п)— <Ь + п) = с. СИ Используя утверждение, сформулированное в предыдущей задаче, вычислите; а) 68-19; 6)35-18; в) 65-17; г) 47-29; д) 302-99; е) 134-98; ж) 200-97; з) 132-96; и) 649-199; к) 606-399; л) 370-298; м) 793-495. Выполните действия «цепочкой» по образцу: 75-5+ 17-20 = 70+ 17-20 = 87-20 = 67. а) 18 f 9-23т 32 в) 37-33+19-3 д) 14-6 + 29-11 ж) 38 + 3-5-28; б) 33-6 f 25- 17; г) 53+12-15+17; е) 45+ 25-18т 101; 3) 64-16+19-2. ЕЗ а) Задумали число, увеличили его на 45 и получили 66 (рис. 1,а). Каким действием можно найти задуманное число? Найдите его. а) t45 б) -45 в) + 120 -49 66 66 200 Рис. 1 б) Задумали число, уменьшили его на 45 и получили 66 (рис. 1,6). Найдите задуманное число. в) Задумали число, увеличили его на 120, результат уменьшили на 49. Получили 200 (рис. 1, в). Найдите задуманное число. 18 X , Б Решение текстовых задач с помощью сложения и вычитания с помощью сложения и вычитания решают задачи, в которых тр>ебуется найти число, большее или меньшее данного на несколько единиц, ответить па вопросы 4на сколько больше?», 4на сколько меньше?», 4Сколько всего?», 4Сколько осталось?» и т. п. Решения таких задач можно о ата — всего 3 — 4 квадрата (рис. 2, а). Но можно расположить все квадраты в 4 столбца по 3 квадрата — всего 4 — 3 квадрата (рис. 2, б). Так как число квадратов в обоих случаях одно и то же, то 3-4 = 4-3. Для любых натуральных чисел а, Ь и с верно равенство: (а — /;) — с = а — (& — с), выражающее сочетательный :1акоп умножения: 22 Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Сочетательный закон можно легко проверить при подсчёте числа кубиков на рисунке 3. Все кубики можно расположить в 2 столбца по 3-4 кубика в каждом — всего 2 • (3 • 4) кубика (рис. 3, а). Но можно расположить все кубики в 2 • 3 столбца по 4 кубика в каждом (рис. 3, б) — всего (2 • 3) • 4 кубика. а) Рис. 3 б) Так как число кубиков в обоих слу^шях одно и то же, то 2-(3-4) = (2-3)-4. Рассмотрюпиые законы умножения применяются для упрощения вычислений. Пример. Вычислим произведение (5 * 48) • 2. Для вычисления этого П1юизведения надо умноясить 5 на 48, а полученный результат умножить на 2. Для упрощения вычислений применим переместительный и сочетательный законы умножения: (5 • 48) • 2 = (48 • 5) • 2 = 48 • (5 • 2) = 48 • 10 = 480. Из сочетательного закона умножения следует, что произведение трёх (и более) чисел можно записать и без скобок: (2 • 3) • 4 = 2 • 3 • 4, (2 • 3) • (4 • 7) = 2 • 3 • 4 • 7. Из законов умножения следует, что в произведении нескольких множителей можно менять местами множители и заключать их в скобки любым способом. Например, 3-4-5-6 = (3-4)-(5-6), 3-4*5-6 = 6- 5- 4-3. 23 Отметим, что для любш’о натурального числа а верны равенства: «0 = 0; о • а = 0. Кроме того, 00 = 0. Поэтому равенства a-h = h-a и <а-h) ■ с = а • зовать более короткую запись — после действия пояснять, что найдено этим действием. Задача. Покупатель истратил на первую покупку 150р., а на вторую — в 3 раза больше. Сколько денег он истрштил па обе покупки? Решение. 1) 150 • 3 = 450 (р.) — покупатель истратил на вторую покупку; 2) 150 + 450 = 600 (р.) — всего истратил покупатель. Ответ: 600 р. ’fn Что значит умножить число 5 на число 6? tn Чему равно произведение; а) единицы на любое натуральное число; б) нуля на любое натуральное число? m Запишите равенство, выражающее переместительный закон умножения, сформулируйте этот закон. m Запишите равенство, выражающее сочетательный закон умножения, сформулируйте этот закон. Ъз Купили 3 коробки конфет по 400 г и 4 пачки печенья по 250 г. Вес чего можно найти следующим способом: а) 400 4 400 4 400; б) 3 • 400; в) 250 4 250 4 250 4 250; г) 4 • 250; д) 3 • 400 ♦ 4 • 250? P77I Замените сумму произведением: а) 75 4 75 = 2-75; б) 701 +701; в) 82 + 82 + 82; г) 603 + 603 + 603; д) 45 + 45 + 45 + 45 + 45; е) 16+16+16+16416+16; ж) 730 4 730 4 730 + 730; 3) 172+172+ 172+ 172+ 172. 24 сз Вычислите; а) 4 » 4 f 4 = 3-4=12; б) 7 f 7 + 7 + 7: г) 11 + 11 + 11 + 11 + 11; 0) 46 + 46 + 46 + 464 46 + 46; 3) 128+ 128+ 128+ 128+ 128; m Запишите в виде произведения: в) 8 I 8 + 8 + 8 I 8; д) 15+15+15+15; ж) 750 + 750 I 750 + 750; и) 2011 +2011 +2011. а) а + а + а = 3 • а; б) Ь 4 h + Ь 4 Ь\ д) а + а + а 4 а\ з) (/ + J + ti + ti; в) с л с л с л-с с\ е) ^4/^4 /^; и) а-\- а-\- ал^ а + а\ Г) d\d\d\ ж) с + с + е + с; к) ft + ft. ЕЭ а) Число 12 сначала увеличили в 2 раза, полученный результат увеличили ещё в 3 раза. Какой получился результат? 6) Задумали число, увеличили его в 3 раза, полученный результат увеличили ещё в 4 раза. Во сколько раз увеличилось число в итоге? m Какие законы использованы при следующих вычислениях: 20 • 30 = (2 -10)-(3-10) = (2-3).(10-10) = 6-100 = 600? Вычислите; а) 20-50; г) 50-400; ж) 2000-130; 6) 80 — 40; д) 200-100: 3) 700 — 8000; в) 200-40; е) 90 — 2000: и) 120-6000. Запишите число в виде произведения двух множителей; а) 48 = 8-г) 81=9- ж) 49 = 7- 6) 42 = 6 д) 36 = 6 3) 56 = 8 в) 72 = 8- е) 63 = 7 и) 54 = 6 Ш т Запишите число в виде произведения двух равных множителей: а) 1; б) 4; в) 0; г) 9; д) 16; е) 25; ж) 49; 3) 64; и) 36; к) 81; л) 100; м) 121. Запишите каждое из чисел 15; 25; 13; 24; 36; 14; 17 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами. В школьную библиотеку привезли 20 пачек по 60 книг в каждой. Надо ли развязывать пачки, чтобы сосчитать число всех книг? Сколько книг привезли? 25 в девятиэтажном доме два подъезда. На каждом этаже в подъезде 6 квартир. Определите, какое из следующих произведений 2-6; 9-6; 2 • (9 • 6); (2 • 9) • 6 определяет количество квартир; а) в подъезде; б) на одном этаже в двух подъездах; в) в двух подъездах. tn Для упрощения вычислений полезно помнить, что 2-5=10; 4-25=100; 8-125=1000. Пользуясь этими равенствами, вычислите устно: а) 3-2-5; б) 2-7-5; в) 4-9-25; г) 7-25-4; д) 125-7-8; е) 12-8-125; ж) 2-17-5; 3)16-25-4; и) 13-125-8. ш Вычислите: а) 16-25 = 4-(4-25) = 4-100 = 400; б) 82-5; в) 36-25; г) 25-32; д) 28-25; е) 16-125; ж) 64-125; з)75-12; и) 75-44. П1 Вычислите: а) 6-25-4-125-0; б) (108-2 + 5-13)-0. ГГГЯ а) Увеличьте число 48 на 3, полученный результат увеличьте в 3 раза. б) Увеличьте число 48 в 3 раза, полученный результат увеличьте на 3. в) Одинаковые ли результаты получены в пунктах а и б? а) В первый день туристы прошли пешком 18 км, а во второй день они проехали на автобусе в 5 раз больше. Какое расстояние туристы преодолели за два дня? б) В первом мотке 42 м проволоки, а во втором в 3 раза больше. Сколько проволоки в двух мотках? К[‘>я в многоквартирном доме 96 квартир, из них 24 — однокомнатные. Двухкомнатных квартир в 2 раза больше, чем однокомнатных. Остальные квартиры трёхкомнатные. (Сколько в доме трёхкомнатных квартир? ГГТР а) На овощную базу сначала привезли помидоры на 6 машинах по 120 ящиков в каждой, потом ещё на 8 машинах по 140 ящиков в каждой. Сколько всего Я1циков помидоров привезли на базу? б) Токарь за один час обтачивает 12 деталей, а другой токарь — 11 деталей. Над выполнением задания первый работал 2 ч, потом второй — 3 ч. Сколько деталей они обточили вместе? 26 1’ г,:-. , .П1 cm a) Девочка купила 2 марки по 50 к. и 3 открытки по 65 к. Какую сдачу она должна получить с пяти рублей? б) В швейной мастерской было 12 кусков материи по 40 м в каждом и 8 кусков материи по 30 м в каждом. Сколько метров материи осталось после того, как израсходовали 340 м? в) На складе осталось 20 кусков материи по 40 м, 12 кусков материи по 30 м и 13 кусков материи по 20 м. Сколько метров материи осталось на складе? Распределительный закон Для любых натуральных чисел а, & и с верно равенство: а • (Ь + с) = а ‘ Ь \ а ‘ с\ 1 выражающее распределительный закон: *1тобы число умножить иа сумму двух чисел, можно ото число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Рис. 4 Поясним этот закон на примере. Подсчитаем двумя способами число квадратов, изображённых па рисунке 4. I способ. В каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 красных квадратов, а всего в каждом ряду (3 т 5) квадратов. В четырёх же рядах всего 4 • (3 + 5) квадратов. II способ. Жёлтые квадраты расположены в четырёх рядах по 3 квадрата в каждом, т. е. жёлтых квадратов 4 • 3. Красных квадратов 4 • 5, а всего 4 • 3 + 4 • 5 квадратов. Одно и то же число квадратов подсчитано двумя способами, поэтому 4 • (3 ч 5) = 4 • 3 -г 4 ■ 5. Отметим, что распределительный закон верен не только для двух, но и для любого числа слагаемых. Например, верно равенство: 9 • (3 + 4 + 5 + 6) = 9 • 3 ч 9 • 4 + 9 • 5 + 9 • 6. 27 и 7 • (5 — 3) раскрыли 4 • 3 + 4•5 и разность • (Л — с) соответствен по называют раскрытием Кроме того, если Ь больше или равно с (6>с), то верно равенство: а • ф — с) = а • Ь — а • с. Например: 7 • (5 — 3) = 7 • 5 — 7 • 3. Говорят, что в произведениях 4 • (3 + 5) скобки и получили соответственно сумму 7-5-7.3. Переход от произведений а • (/; + с) и а к сумме a-h < а-с и разности а - Ь-а-с скобок. Переход от суммы а-Ь л а - с к произведению а • (Л г с) и от разности а -Ь-а-с к произведению а-ф-с) называют вынесением общего множителя за скобки. Вынесение общего множителя за скобки позволяет упрощать вычисления. Например: 1) 37-31 +37-69 = 37 .(31 +69) = 37- 100 = 3700; 2) 67-95-67-94 = 67 .(95-94) = 67- 1=67. Любое из чисел а, /; и с в равенстве а - ф \ с) = а - Ь \ а - с и в равенстве а - ф - с) = а • Ь - а • с ф'^с) может быть нулём, поэтому распределительный закон верен и для целых неотрицательных чисел. Так как для неотрицательных чисел справедлив переместительный закон умножения, то верны равенства: <ал-Ь)-с = а- с-^Ь-с и (а — Ь) - с = а - с - Ь • с. cm Запишите равенство, выражающее распределительный закон, сформулируйте этот закон. "tea Для каких чисел выполняется распределительный закон? Примените распределительный закон, раскрыв скобки: а) 5-(32+ 17) = 5-32 + 5. 17; 6) 19• (28 +43)= 19•. + 19•. ; в) 7-(3 + 8); г) 10.(15 + 6): д)5.(10+12); е)6-(12 + 4). ко:я Используя распределительный закон, запишите произведение в виде суммы: а)10.(12 + 3); 6) (12 + 31) -15; в)(17 + 43)-8; г) (93 f 28) .16; д) 5. (8 + а); е) 7 • (х f 9); ж) 12.(a + fr); з) (х + //)-15; и) а- (х + у). Здесь а, Ь, х и i/ — натуральные числа. 28 cm Используя распределительный закон, запишите сумму в виде произведения; а)7-3 + 7-2: б) 5*3+ 5-8; в)8-9 + 8-7; г) 5-3 + 5-10. Вынесите общий множитель за скобки: а) 8-3 + 8-2: б)8-3 + 5-3; в) 9-13 + 7-9; г) 27-3 + 3-2. Запишите произведение в виде разности; а) 8-(18-10) = 8-18-8-10; б) 5-(22-14) = 5-. -5- в) 7-(13-8); е) (42-24)-15: г) 10-<15-6): ж) 5-(18-3): Д) (9-3)-12; 3) (91-1)-7. Используя распределительный закон, запишите разность в виде произведения; а) 7-13-7-2; б) 5-23-5-8; в) 18-9-18-7; г) 25-13-25-10. cm Вынесите общий множитель за скобки: а) 7-32-7-23; 6)9-31-9-17; в) 27-3-7-3; г) 71 -17-17-11. гт гт cm cm cm Вычислите, используя распределительный закон; а) 37-12 + 37-88; 6)7-12 + 8-7; в) 37-12-37-2; г) 7-102-2-7; д) 28-9 + 22-9; е) 25-11 -25-1; ж) 18-9+18-1; 3) 25-99 + 25; и) 101 -17- 17; к) 41-50-50. Перепишите, заполняя пропуски: а) . -(15+12) = 5-15 + 5-12; б) 12-(. + . )=12-7+12-8; в) . .(. + . )=14-15+14-29. Вынесите общий множитель за скобки: з) 20-47 + 20-23; 6) 57-81 -39-81; в) 51-43+12-43; г) 38-39-38-20. Вычислите: а) 47-42 + 42-153; в) 61-45 + 55-61; б) 57-81 -71-57; г) 39-138-137-39. Вычислите: а) 7-55 + 7-45 + 3-45 + 3-55; б) 8-2 + 2-92 + 8-98 + 2-8; в) 37-59 + 37-41 +63-59 + 41 -63; г) 356 -73 + 644-27 + 73-644 + 27 - 356. 29 rm Первый рабочий изготовляет 25 деталей в час, а второй — 20 деталей в час. Укажите, какое из следующих выражений 20 + 25; 4 • (20 + 25); 4 • 25; 4 • 20 + 4 • 25; 4 • 20 определяет число деталей, изготовляемых: а) первым рабочим за 4 ч; ^ 7^ + 4 *25 б) вторым рабочим за 4 ч; в) двумя рабочими за 1 ч; г) двумя рабочими за 4 ч. ИССЛСДУСН ЬКу'Л а) Каким может быть число а, чтобы вы могли устно вычислить разность двух произведений: 987 • 654 - 987 • а? Приведите несколько примеров. б) Какое самое большое натуральное число а можно взять, чтобы разность в задании а была натуральным числом? в) Какое число а нужно взять, чтобы разность в задании а была нулём? » Сложение и вычитание чисел столбиком При сложении и вычитании однозначных чисел удобно пользоваться таблицей сложения: 1 2 3 4 Гу 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 8 9 К) 11 12 13 14 15 16 17 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Результаты сложения и вьп1итания однозначных чисел надо помнить наизусть. 30 Многозначные »шсла складывают и вычитают по разрадам, используя переместительный, сочетательный и распределительный законы. Например, 1) 35-ь 21 = 3-10->-5 +2-10 + 1 = (3 + 2)-10 +(5+1) = 50+ 6 = 56; 2) 68 — 43 = 6 • 10 + 8 — 4 • 10 — 3 = (6 — 4) • 10 + (8 — 3) = 20 + 5 = 25. Обычно сложение и вычитание 3 5 6 8 выполняют столбиком, записывая +- 2 1 /4 3 числа друг под другом так, чтобы 6 цифры одинаковых разрядов стоя- Ь ли друг под другом, и начинают 5 0 2 0 вычисления с разряда единиц. 5 6 2 5 +- 2 5 6 6 8 4 3 2 5 Рис. 7 Рис. 8 Эти вычисления можно записать столбиком подробно (рис. 5 и 6). Рис. 5 Рис. 6 Обычно вычисления записывают короче (рис. 7 и 8). Если сложение в каком-либо <жзряде даст в результате число, большое или равное 10, то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего (справа налево) разряда, прибавляя эту единицу к цифре следующего р^шряда. Например, 45 + 39 = 4 • 10 + 5 + 3 • 10 + 9 = = (4 + 3)- 10 + (5 + 9) = = 7- 10+ 14 = 7-10 + 1 • 10 + 4 = = (7 + !)• 10 + 4 = 80 + 4 = 84. Это вычислепие можно запи- s 4 сать столбиком подробно (рис. 9). Обычно пишут короче, запоминая. Рис. 9 Рис. 10 что в разряд десятков добавляется один десяток (рис. 10). При этом говорят так: к 5 прибавим 9 — получим 14, нищем 4 (единицы) и 1 (десяток) запоминаем, к 4 прибавим 3 — получим 7, да ещё 1 запомнили — будет 8 (десятков), пишем 8. Если при вычитании в каком-либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то нужно «запять» одну единицу в следующем (справа налево) разряде уменьшаемого. Например, 72-9 = 7- 10 ) 2-9 = 6- 10 1 (10 I 2)-9 = = 6-10 + (12-9) = 60 + 3 = 63. + 4 5 3 9 8 4 31 7 9 7 2 3 9 6 0 в 3 в 3 Рис. 11 Рис. 12 Это вычисление задисывают, отмечая точкой разряд, в котором «занята» единица (рис. 11). Обычно пишут короче (рис. 12). Говорят: из 2 вычесть 9 нельзя, занимаем 1 десяток, из 12 вычтем 9 — получим 3 (единицы), пишем 3, из 6 вычтем О — получим 6 (десятков), пишем 6. Объясните на примере, как выполняют сложение и вычитание столбиком. Какие законы используют при сложении и вычитании столбиком? Перепишите в тетрадь и выполните сложение: б) , 824 в) . 875 а) ^375 _ 123 ■*‘326 *^324 г) ^ 575 ^ 394 гт rm rm fFTl б) 6292 и 4596; д) 6312 и 1599; 3) 3928 и 4215. Вычислите сумму: а) 325 и 866; г) 9128 и 7357; ж) 6565 и 3535; Прибавьте к числу: а) 4890 число 1716 в) 9091 число 909; д) 5617 число 9861 ж) 8435 число 6890 Увеличьте число: а) 756 на 234; 6) 592 на 343; г) 709 на 2570; д) 383 на 2154; Вычислите сумму (127—129). а) 784 + 296; б) 365 + 645; г) 652 » 999; д) 3599 1^111; а) 52 338 + 4691; в) 757 664+15 979; д) 1234 + 4321; а) 10 004 + 57 806; в) 384 759 + 240 901 д) 191 919 I 919 191 ж) 123 321 +876 679 в) 2099 и 85 204; е) 4890 и 1716; б) 399 число 1523; г) 999 число 3001; е) 7831 число 2169; з) 376 число 9734. в) 2592 на 375; е) 1708 на 2425. в) 999 » 854; е) 234 + 7214. 6) 6856 + 77 281; г) 18 635 + 574 985; е) 56 789 + 98 765. б) 30 008 + 7992; г) 159 996 + 7 080 004; е) 454 545 * 545 455; 3) 987 654 + 123 456. 32 cm Перепишите в тетрадь и выполните вычитание: а) 728 б) 1356 в) 92 507 г) 10101 325 246 2 400 9 898 cm а) Уменьшите 309 на 12. б) Уменьшите произведение чисел 409 и 5 на 920. в) Из числа 9999 вычтите произведение чисел 999 и 9. г) Разность чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз. д) Вычтите сумму чисел 328 и 532 из числа 1000. е) Вычтите произведение чисел 12 345 и 9 из числа 1 000 000. cm Вычислите неизвестное число х, удовлетворяющее равенству: а) х +209 = 700; б) 296 + дг = 925; в) д:-283 = 79: г) х-8096= 10951; д) 756-х = 236; е) 839-х=125. СТГЯ На доске были записаны верно выполненные примеры на сложение и вычитание, потом некоторые цифры стёрли и заменили их буквами. Перепишите примеры, заменяя буквы цифрами так, чтобы опять получились верные записи: а) 72и б) д52 в) 5ин г) ну56 ‘ 1рЗ * д79

5л8 т98 28а о381 88ь Восстановите примеры, считая, что одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры: а) бЗб 766 аЗОО 6) а4а 33а 6084 в) удар удар драка д)^ деталь деталь изделие Выполните действия (135, 136). cm а) (5486 + 3578)+ 1422; б) 4523+ (3788+1477): в) (357 + 768 + 589) + (332 + 211+ 643); г) (357+ 298+ 428)+ (102+ 572+ 643): д) (259 + 728 + 293) + (541 + 607 + 272). СШ а) 375 026 + 408 724-49 678; б) 700 000 — (50 345+168 724); в) 900 000-(125 480+ 89 256): г) 1 700 000 — (836 724 » 64 048); д) 1 000 000-(35 724-5928). В 33 Умножение чисел столбиком Для вычисления произведения однозначных чисел удобно пользоваться таблицей умножения: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 3 Г> 9 12 15 18 21 24 27 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 Таблицу умножения однозначных чисел надо помнить наизусть. Кроме того, надо помнить, что для любого числа а верны равенства: а + 0 = д, а-1=а, а-0 = 0. Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел, и тем более двух многозначных чисел, требует применения не только таблицы умножения, но и законов сложения и умножения. Пример 1. Вычислим произведение 327 • 8. 327-8 = (300 + 20 + 7)-8 = = 300 • 8 + 20 • 8 + 7 • 8 = 2400 t 160 i 56= 2616. П 3 2 7 « 5 6 6 о 2 4 0 0 2 6 16 Рис. 13 ш ^‘1 2 6 16 П » Рис. 14 Это решение можно записать столбиком подробно (рис. 13). Обычно пишут короче (рис. 14) и говорят: 7 умножим на 8 — получим 56, 6 пишем, 5 запоминаем; 2 умножим на 8 — получим 16, да ещё 5 запомнили, будет 21, 1 пишем, 2 запоминаем; 3 умножим па 8 — полу^шм 24, да ещё 2 запомнили, будет 26, пишем 26. 34 Рис. 15 2 9 2 4 1 3 1 6 8 0 3 2 6 7 8 9 6 Рис. 16 3 1 5 8 7 8 9 6 3 2 2 0 4 3 9 7 2 0 0 0 0 6 4 8 0 0 6 5 7 7 2 Рис. 1/ Пример 2. Вычислим произведение 329 • 24. 329-24 = 329.(20 + 4) = = 329 — 20 + 329 • 4 = 6580 + 1316 = 7896. Это решение можно записать столбиком подробно (рис. 15). Обычно пишут короче (рис. 16). Пример 3. Вычислим произведение 324 • 203. 2 4 0 3 9 6 4 8 7 2 6 5 7 7 2 Рис. 18 324 • 203 = 324 • (200 + 3) = 324 • 200 + 324 • 3 = 64 800 ( 972 = 65 772. Это решение можно записать столбиком подробно (рис. 17). Обычно пишут короче (рис. 18). Пример 4. Вычислим произведение 460 • 48. Так как 460-48 = 46- 10-48, то можно сначала умножить 46 на 48 и полученный результат умножить на 10, т. е. приписать к нему справа нуль. Вычисления можно записать столбиком (рис. 19). Аналогично поступают и в других случаях (рис. 20). Рис. 19 Рис. 20 35 Г iiftfta ‘“•’-‘л ^ЕИ Какие законы используют при умножении столбиком? Объясните, как выполнено умножение: a) 748 б) 973 в) 7050 6 ^ 50 7 4488 48650 49350 Г) 926 Д) 326 е) 4830 ^ 38 ^502 ^ 4900 7408 . 652 . 4347 + 2778 1630 1932 35188 163652 23667000 Вычислите произведение чисел (139-143). гт a) 12-10; б) 32-100; в) 65- 1000; г) 20-100: д) 300-1000; е) 1500-100; ж) 10-190; 3) 1000-20; и) 100-380; к) 129-100: л) 1000-130; м) 2900-10. cm а) 24 — 2; б) 31-3; в) 52-4; г) 71 -9; Д) 23-8; е) 9-18; ж) 65-4; 3)76-5; и) 48-9; к) 8-34; л) 7-85; м) 9-78. cm а) 132-5; б) 645-3; в) 5-418; г) 7-338; Д) 106-4; е) 401 -6; ж) 4381-2; 3) 7713-8 и) 7-6204; к) 9-5007; л) 6 — 5769; м) 7 — 777. cm а) 23-11; б) 42-12; в) 22-33; г) 53-31; Д) 68-61; е) 64 — 24; ж) 79 — 23; 3) 72 — 25; и) 42 — 68; к) 37-33; л) 74-15; м) 37-66: н) 48-37; 0) 54 • 29; п) 63-36. cm а) 86-49; б) 92-16; в) 88-97; г) 951 -18; д) 663 — 26; е) 847-64; ж) 101-332; 3) 302 — 648; и) 321-562; к) 955-317; л) 861 — 242; м) 999-732; н) 679-679; 0) 125- 125; п) 420-450. cm Вычислите наиболее простым способом; а) 24 — 98 1 24 2; б) 305 — 199 1 305- 1; в) 49- 18 f 18; г) 153- 598 f 306. cm Выполните действие: а) 325 — 40; б) 3508 — 250; в) 7380 — 420; г) 3800-550; Д) 48-9: е) 789-1020. 36 ИССЛЕДУЕН Произведение четырёх последовательных натуральных чисел ; равно 3024. Найдите эти числа. На доске записали несколько примеров на умножение натуральных чисел, потом некоторые цифры стёрли и вместо них поставили звёздочки. Восстановите стёртые цифры. ^кк 2й 1 ^ VC ■^135 кк ккк ккк 0 •к’к 2^-8 кккк СПЗ /’Йя сйз Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий человек купил ладану 137 пудов. За каждый пуд заплатил по 6 р. и захотел узнать, сколько стоит покупка. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некто купил зерна 2359 четвертей, за четверть платил по 65 коп. и отдал всех денег 153 335 коп. Проверьте вычисления. а) Купили дюжину (12 штук) носовых платков по 1 р. за штуку, 4 пары носков по 4р. за пару и 2 майки по Юр. за штуку. Сколько денег заплатили? б) С завода отправили 9 подвод с посудой, на каждой по 2 ящика, и в каждом Я1цике по 45 дюжин тарелок. Сколько тарелок отправлено с завода? 37 ИССЛСДУЕН Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Если хочешь, чтобы умножение было с некоторым удивлением, т. е. в произведении получилось 111 111, или 222 222, или 333 333, и так до 999 999, то умножай 777 на 143 и будет 111111. А когда 143 умножишь на 2 и результат умножишь на 777, то получишь 222 222, и т. д. Получите описанным способом произведения от 333 333 до 999 999. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Если хочешь в произведении иметь 121 212, возьми 12, умножь на 2 и на 10, будет 240, прибавь первое число, будет 252. Этот результат умножь на 481, будет 121 212. Получите описанным способом числа 232 323, 343 434 и 898 989. 1.ХХ. Степень с натуральным показателем Мы уже знаем, что сумму нескольких одинаковых слагаемых принято записывать короче — в виде произведения: 5 + 545 + 5 = 4-5. Произведение одинаковых чисел также записывают короче: 5 • 5 • 5 • 5 = S’* и называют степенью. Читают «пять в степени четыре». Запись 2^ («два в степени три») означает 2-2-2. При этом число 2 называют основанием степени, а число 3 — показателем степени. Число 3 показывает, сколько раз нужно взять множителем основ11ние степени — число 2: 23 = 2-2-2 = 8. Степенью числа а с натуральным показателем п (п>1) называют произведение п множителей, каждый из которых равен а: а»= а ’ а • а •а (л>1). Л раз Пример 1. Вычислим 2*. 2 1)? YH3 Чему равна первая степень любого числа? «fes Что называют: а) квадратом числа; б) кубом числа? СТ71 Запишите сумму в виде произведения: а) 5 + 5; б) 8 + 8 + 8-ь 8; в) а + а + а. ГТТД Запишите произведение в виде степени: а) 5-5; б) 8* 8* 8-8: в) а-а-а. tel Используя специальные названия второй и третьей степени, прочитайте степени: 2^; 2*; 3′-^; З’-^; 4^; 5^. Вычислите (159—162). • 2; д) 9^*: е) 9 • 2; ж) 2*; з) 2-3. д) 8^; е) 9?: ж) 10?; з) 1?. д) О’-‘; е) 10*; ж) 6*; з) Т\ д) 100′; е) 1’; ж) 11?; з) 12? ГГГЯ Составьте таблицу квадратов чисел от О до 15. Гт Составьте таблицу кубов чисел от 0 до 10. Гт Вычислите степени числа 2 с показателями от 1 до 10. гт Запишите число в виде квадрата натурального числа: а) 9; б) 25; в) 100; г) 16; д) 49; е) 81; ж) 64; з) 36. ГГ71 Вычислите степени числа 10 с показателями от 1 до 7. Н-1 д Запишите в виде степени с основанием 10 число: а) 100; б) 1000; в) 10 000; г) 10; д) 100 000; е) 1 000 000. <Г? 1 Запишите число в виде произведения одинаковых чисел: а) 4; б) 1; в) 27; г) 256. tU’Jl Запишите каждое число в виде степени: 8; 125; 64; 243. ИССЛЕДУЕН cm Среди первых пяти натуральных чисел имеются два неравных числа т \л п такие, что п"* = т'*. Найдите эти числа. ПИ а) 3?; б) 3-: 2; в) 5?; г) 5 cm а) 2?; б) 4?; в) 6?; г) 7?; rm а) 3*; б) 4*; в) 5*; г) 1*; rm а) 3^ б) 35; в) 1®; г) 0^; 40 X . X £ • Деление нацело Пусть а и Ь — натуральные числа и а больше или равно Ь (а ^ Ь). Говорят, что а делится на Ь нацело, если существует натуральное число с, при умножении которого на Ь получается а: а = Ь’С. Обычно слово нацело» в этой фразе опускается. При этом пишут: a:h = c и называют а — делимым, h — делителем, с — частным. Любое натуральное число а делится на 1 и само на себя: I « : 1 = «, а ; а = 1, так как «•!=«, !•« = «. Например, 12 делится на 1 и на 12. При делении нуля на любое натуральное число получается нуль: О : а = О, потому что 0-а = 0. Делить иа нуль нельзя. Любое натуральное число а делить на нуль нельзя, потому что не существует такого числа с, для которого выполнялось бы равенство а : О = с (так как с • О = О а). Так как с • О = О для любого числа с, то можно было бы считать, что 0:0 = с. Но в этом случае частным могло бы быть любое число с. Поэтому считают, что нуль на нуль делить нельзя. Отметим важное свойство частного: делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится. Например: 48:24 = 2, (48 • 2) : (24 • 2) = 96 : 48 = 2; (48 : 2): (24 : 2) = 24 ; 12 = 2. Хеи Когда говорят, что натуральное число а делится нацело на натуральное число 6? ХеП Назовите делимое, делитель и частное в примере 35; 5 = 7. 41 г ,пеа Ъти Ъш Ътщ Ъп Ът Ъп гт ПТР гпи ГТТР пп rm На какие числа делится нацело любое натуральное число? Что получается при делении нуля на любое натуральное число? Можно ли делить на нуль? Какое число называют частным чисел 8 и 2; 20 и 4? Докажите, что 18:2 = 9; 12:4 = 3; 0:5 = 0. Объясните, почему верно равенство: а) (42 ; 6) • 6 = 42; б) (625: 25) • 25 = 625. Заполните пропуски: а) (56:8)- . =56; б) (54: . )-9 = 54; в) (45: . )• . =45; г) (50: . )• . =50. Вычислите: а) (144: 12)-12; б) (132 : 11)• 11. Запишите следующее число в виде произведения двух множителей различными способами: а) 12; б) 15; в) 25; г) 20; д) 27; е) 0; ж) 16; з) 24. Объясните, как найти неизвестное число х: а)31-д: = 93; б)х-4=168; в) 120:х = 40; г) х:42 = 2. Найдите частное чисел: а) 40 и 8; б) 72 и 9; в) 64 и 8; г) 560 и 7; д) 140 и 7; е) 360 и 6; ж) 606 и 2; з) 808 и 4; и) 909 и 9. Вычислите частное по образцу: а) 400:80 = (400: 10):(80: 10) = 40:8 = . ; б) 800 :400; в) 16 000: 800; г) 300 : 50; д) 6400 : 1600; е) 20 000 : 4000; ж) 2000 : 500. l!t iJ При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить делимое и делитель на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно. Вычислите частное по образцу. а) 95:5 = (95-2):(5-2)=190: 10 = . ; б) 2400: 50 = (2400-2): (50-2) = 4800:100 = . ; в) 3200:5; е) 2350:50; г) 1320:5; ж) 7200:50; Д) 4320:5; 3) 9200:50. 42 ГГгЖ Вычислите; а) 120:5; 6) 320:5; в) 440:5; г) 2100:50; д) 2020:5; е) 2130:5; ж) 700: 50; з) 800 : 50; и) 3100:50; к) 170:5; л) 1800:50; м) 600:50. Докязывяси %Ц Докажите, что если каждое из натуральных чисел а и Ь делится на натуральное число с, то верно равенство (а + Ь): с = а : с + h : с. »![ Выполните деление по образцу: а) (48 + 88):8 = 48:8 + 88:8 = 6+11 = 17; б) (99+ 810): 9; в) (150 + 55): 5; г) (33 + 99): 3; д) (44 + 88): 2. Вычислите, записав делимое в виде суммы, по образцу. а) 84:4 = (80 + 4):4 = 80:4 + 4:4 = 20+ 1 =21; б) 92:4 = (80+ 12):4 = . ; в) 96:3; е) 51 :3; г) 56:4; ж) 132:11; Д) 81 :3; 3) 264:12. ^ Решение текстовых задач с помощью умножения и деления с помощью умножения и деления решают задачи, в которых требуется найти число, большее или меньшее данного в несколько раз, ответить на вопросы «во сколько раз больше?», «во сколько раз меньше?» и т. п. Задача 1. Число 50 увеличили в 3 раза, полученное число увеличили на 100. Во сколько раз увеличили число 50 за два раза? Решение. 1) 50-3 = 150 — число, полученное после первого увеличения; 2) 150 + 100 = 250 — число, полученное после второго увеличения; 3) 250 : 50 = 5 (раз) — во столько раз увеличили число 50 за два раза. Ответ: в 5 раз. 43 к выбору умножения и деления для решения задачи надо подходить очень внимательно, так как, например, слова 4В 3 раза больше» не всегда требуют умножения. Поэтому в решении задачи необходимо рассуждение, показывающее, какое действие надо применить. Задача 2. Некто прочитал 90 страниц книги, это в 3 раза бол1.ше, чем ему осталось прочитать. Сколько страниц в книге? Решение. Прочитано в 3 раза больше страниц, чем осталось прочитать, поэтому осталось прочитать в 3 раза меньше, чем уже прочитано. 1) 90 : 3 = 30 (с.) — осталось прочитать; 2) 90 + 30= 120 (с.) — в книге. Ответ: 120 страниц. При решении текстовых задач часто приходится применять все арифметические действия. Задача 3. В понедельник магазин продал 5 коробок яиц, а во вторник — 7 коробок. Известно, что от продажи яиц во вторник магазин выручил на 720 р. больше, чем в понедельник. Сколько денег выру^шл магазин от продажи яиц за два дня? Решение. 1) 7-5 = 2 (кор.) — стоят 720 р.; 2) 720 : 2 = 360 (р.) — стоит одна коробка яиц; 3) 7+5=12 (кор.) — продано всего; 4) 360 • 12 = 4320 (р). — выручил магазин за два дня. Ответ: 4320 р. ?ш а) За 8 марок заплатили 4 р. Сколько стоит одна марка? б) Одна линейка стоит 2 р. 80 к. Сколько купили линеек, если за них заплатили 8 р. 40 к.? в) За один час поезд прошёл 60 км. За сколько часов он пройдёт 240 км, если будет идти с той же скоростью? г) За три часа велосипедист проехал 36 км. Сколько километров он проезжал в час? Мальчику 12 лет. он в 3 раза старше своей сестры, а) На сколько лет мальчик старше своей сестры? б) На сколько лет мальчик будет старше своей сестры через 4 года? в) Во сколько раз мальчик будет старше своей сестры через 4 года? Гт а) На каждую телегу нагрузили по 8 мешков картофеля. На сколько телег погрузили 72 мешка? 44 б) в некоторые из 40 пакетов насыпали сахарный песок. Осталось 10 пустых пакетов. Во сколько пакетов насыпали сахарный песок? в) В швейной мастерской осталось 2 куска материи по 60 м. Сколько метров материи осталось? Гт а) у Алёши, Бори и Васи вместе 120 марок. У Алёши марок столько, сколько у Бори и Васи вместе. Сколько марок у Алёши? б) Коля, Миша и папа поймали 24 карася. Папа поймал столько, сколько его сыновья вместе, а они поймали карасей поровну. Сколько карасей поймал Коля? Родник в 24 мин даёт бочку воды. Сколько бочек воды даёт родник в сутки? гт а) В магазин привезли 720 бутылок лимонада в ящиках по 20 бутылок. Сколько было ящиков? б) В мешке 60 кг сахара. Весь сахар рассыпали в пакеты по 500 г. Сколько получилось пакетов? гт а) Уменьшите число 64 на 8, полученный результат уменьшите в 4 раза. б) Уменьшите число 64 в 4 раза, полученный результат уменьшите на 8. гт а) Велосипедисты проехали от города А до города В 168 км, а от города В до города С — в 3 раза меньше. Сколько всего километров проехали велосипедисты? б) Девочка прочитала 56 страниц, и ей осталось прочитать в 4 раза меньше, чем она уже прочитала. Сколько страниц в книге? t ш Маме 36 лет, сыну 12, а дочери 4 года. Во сколько раз дочь моложе матери? Во сколько раз брат старше сестры? а) У Васи было 46 марок. За год его коллекция увеличилась на 230 марок. Во сколько раз увеличилась коллекция? б) У Коли было 42 р., он потратил 36 р. Во сколько раз у Коли стало меньше денег? FTTP Для награждения победителей математической олимпиады купили 10 книг по 9 р. и 12 комплектов головоломок — на общую сумму 222 р. Сколько стоит один комплект головоломок? 45 а) в 12 коробках — 144 карандаша. Сколько карандашей в 15 таких же коробках? б) Автомат на кондитерской фабрике заворачивает 324 конфеты за 3 мин. Сколько конфет он завернёт за 5 мин? ^ТТЯ а) Для поездки трёх взрослых и двух детей по железной дороге купили билеты общей стоимостью 600 р. Сколько стоит детский билет, если билет для взрослого стоит 160 р.? б) Для санатория купили 12 кресел и 50 стульев на общую сумму 98 800 р. Сколько стоит кресло, если стул стоит 860 р.? в мягком вагоне 18 спальных мест, а в плацкартном вагоне 54 места. В составе скорого поезда 1 мягкий вагон, 6 плацкартных и 11 купейных. Сколько спальных мест в купейном вагоне, если во всех вагонах состава 738 спальных мест? а) Велотурист в каждый из 10 дней проезжал по 36 км. Сколько километров в день ему необходимо проезжать, чтобы вернуться обратно за 9 дней? б) Велотурист в каждый из 10 дней проезжал по 21 км. За сколько дней он может вернуться обратно, если будет проезжать в день по 35 км? Некто работает 24 дня в месяц, тратит в каждый из тридцати дней по 50 р. и откладывает за месяц 900 р. Сколько он получает за рабочий день? а) Маме 36 лет, она на 31 год моложе бабушки и в 6 раз старше дочери. Сколько лет каждой? б) Папе 34 года, он в 2 раза моложе дедушки и на 29 лет старше сына. Сколько лет каждому? а) Первая машинистка печатает 10 страниц в час, а вторая за 5 ч печатает столько же страниц, сколько первая за 4 ч. Сколько страниц отпечатают обе машинистки за 3 ч совместной работы? б) Первый рабочий за один час делает 32 детали, а второй за 4 ч делает столько деталей, сколько первый за 5 ч. За сколько часов они вместе сделают 216 деталей? На изготовление 2100 деталей первая бригада затрачивает на 2 ч меньше, чем вторая, которая делает 420 деталей за 1 ч. Сколько деталей за час делает первая бригада? 46 Fin a) В двух корзинах лежало 86 яблок. Когда из первой во вторую переложили 3 яблока, то яблок в корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально? б) На двух полках лежало 196 пачек печенья. Когда с первой полки на вторую переложили 28 пачек, то на двух полках печенья стало поровну. Сколько пачек печенья было на каждой полке первоначально? FTT1 а) У брата и сестры вместе 28 открыток. Сестра отдала брату 4 открытки, и открыток у них стало поровну. Сколько открыток было у каждого из них сначала? б) У брата и сестры вместе было 46 марок. Брат отдал сестре 3 марки, и марок у них стало поровну. Сколько марок было у каждого из них первоначально? Fin а) В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли ещё 12 человек, а во вторую —8 человек, то в комнатах людей стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально? б) В двух комнатах 45 человек. Из первой вышли 9. а из второй — 14, и людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в комнатах сначала? FTFP а) В магазин привезли 420 мужских и женских часов. Когда продали 150 мужских и 140 женских часов, то тех и других осталось поровну. Сколько мужских часов привезли в магазин? б) На заправочную станцию привезли 540 т бензина и дизельного топлива. Когда того и другого продали поровну, то осталось 120 т бензина и 130 т дизельного топлива. Сколько бензина привезли на станцию? %п На четырёх полках стояло 164 книги. Когда с первой полки сняли 16, со второй переставили на третью 15, а на четвёртую поставили 12 новых книг, то на всех полках книг оказалось поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально? Fin За задание, выполненное двумя рабочими, заплатили 5100 р. Сколько денег получит каждый, если первый сделал 48 деталей, а второй — 54 детали? FIT1 На лугу паслось несколько коров. У них ног на 54 больше, чем голов. Сколько коров паслось на лугу? 47 ИССЛСДУЕН ГГЯ в коллекции папы 1250 марок, а в коллекции его сына Васи марок в п раз меньше. Сколько марок у папы и Васи вместе? а) Выберите такое натуральное число п, чтобы задача имела решение. Решите задачу с выбранным числом п. б) Какое самое большое и какое самое маленькое число п можно взять, чтобы задача имела решение? Задачи «на части» Рассмотрим задачу, в которой явно упоминаются части (равные) некоторой величины. Такие задачи обычно решаются с помощью простых рассуждений. Задача 1. Для варенья из малины па 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара следует взять на 6 кг ягод? Решение. По условию задачи ягод 6 кг, и это количество составляет 2 части, поэтому на каждую часть приходится 6 : 2 = 3 кг. Сахара надо взять 3 такие же часгги, т. е. 3 • 3 = 9 кг. Ответ: 9кг. Теперь рассмотрим задачи, для решения которых некоторую величину надо принять за одну или несколько равных частей. При решении таких задач полезно рисовать схематические рисунки, облегчающие решение. Задача 2. На двух полках стоит 120 книг — на первой полке в 3 раза больше, чем на второй. Сколько книг стоит на каждой полке? Решение. Если книги, стоящие на второй полке, составляют 1 часть, то на первой полке — 3 такие части. Выполним схематический рисунок (рис. 21). Рис. 21 I полка II полка 3_части н-------\- 1 часть I-------1 Q 120 книг 48 1) Сколько частей составляют 120 книг? 1 + 3 = 4 (части). 2) Сколько книг приходится на 1 часть (стоит на II полке)? 120:4 = 30 (книг). 3) Сколько книг стоит на I полке? 30 ■ 3 = 90 (книг). Ответ: 90 и 30 книг. Задача 3. За рубашку папа заплатил на 120р. больше, чем за галстук. Известно, что рубашка дороже галстука в 4 раза. Сколько стоит рубашка? Решение. Е1сли стоимость галстука составляет 1 часть, то стоимость рубашки составляет 4 такие же части (рис. 22). р^'башка I- 120 р. Рис. 22 галстук Ь 1) 4-1=3 (части) — приходится на 120р.; 2) 120: 3 = 40 (р.) — приходится на 1 часть (стоит галстук); 3) 4 • 40 = 160 (р.) — стоит рубашка. Ответ: 160 р. Гт Для варенья из малины на 2 части ягод берут 3 части сахара. а) Сколько сахара следует взять на 2 кг 600 г ягод? б) Сколько килограммов малины было у мамы, если для варки варенья она взяла 4 кг 500 г сахара? Fm При пайке изделий из жести применяют сплав, содержащий 2 части свинца и 5 частей олова. а) Сколько граммов свинца и олова в отдельности содержит кусок сплава весом 350 г? б) Сколько свинца и олова в отдельности содержит кусок сплава, в котором олова на 360 г больше, чем свинца? Fm При помоле ржи на каждые три части муки получается одна часть отходов. Сколько смололи ржи, если муки получилось на 36 ц больше, чем отходов? 49 а) Для компота купили 1800 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши — 3 части, а сливы — 2 части общего веса сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив было в отдельности? б) Яблоки составляют 7 частей, груши — 4 части, а сливы — 5 частей веса сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности содержится в 1600 г сухофруктов? ■ '.f_ '•ЗЯ Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слив. Оказалось, что груш и слив вместе взяли 2 кг 400 г. Сколько взяли яблок? Сколько всего взяли фруктов? а) При изготовлении кофейного напитка «Ячменный» на 4 части ячменя берут 1 часть цикория. Сколько пачек напитка изготовлено, если каждая пачка весит 250 г и на изготовление всей партии напитка израсходовано ячменя на 36 кг больше, чем цикория? б) При изготовлении кофейного напитка «Наша марка» на 7 частей кофе берут 6 частей цикория, 5 частей желудей и 2 части каштанов. Сколько пачек напитка изготовлено, если каждая пачка весит 200 г, а кофе и цикория вместе израсходовали 26 кг? а) Сплав содержит 1 часть свинца и 2 части олова. Во сколько раз в этом сплаве олова больше, чем свинца? б) Сплав содержит олова в 3 раза больше, чем свинца. Сколько частей олова приходится на 1 часть свинца? ТЯ Купили 60 тетрадей, причём тетрадей в клетку было в 2 раза больше, чем тетрадей в линейку. Пользуясь рисунком 23, определите, сколько частей приходится на тетради в линейку; на тетради в клетку; на все тетради. Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько — в клетку? Рис. 23 в клетку 1 1 [ 1 1 !в линейку 2 ча стй 1 1 1'ча!сть ! 1 1 1 i 1 37^ а) За рубашку и галстук папа заплатил 200 р. Рубашка дороже галстука в 4 раза. Сколько стоит галстук? б) В плацкартном вагоне в 3 раза больше спальных мест, чем в мягком вагоне. Всего в плацкартном и мягком вагонах 72 места. Сколько спальных мест в мягком вагоне? 50 г 1згэ -урапы(Ы© 1ИСЛГ- ■■ ..уль Fm а) Календарь дороже общей тетради в 2 раза, а вместе они стоят 36 р. Сколько стоит календарь? б) Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Всего они сорвали 120 штук. Девочка сорвала в 2 раза меньше мальчика. Сколько орехов было у мальчика и девочки в отдельности? в) Девочка прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось прочитать. Всего в книге 176 страниц. Сколько страниц прочитала девочка? а) Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадей в линейку, причём их было на 18 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько всего тетрадей купил ученик? б) На первой полке стояло в четыре раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке? а) Девочка прочитала в 3 раза больше страниц, чем ей осталось прочитать. Известно также, что она прочитала на 78 страниц больше, чем ей осталось прочитать. Сколько страниц прочитала девочка? б) Книга дороже тетради в 3 раза, а тетрадь дешевле книги на 12 р. Сколько стоит книга? Задача С. А. Рачинского. Я провёл год в деревне, в Москве и в дороге — и притом в Москве в 8 раз более времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве. Сколько дней провёл я в дороге, в Москве и в деревне? Придумайте задачу «на части». Убедитесь, что числовые данные для задачи подобраны хорошо и она имеет решение. Прочитайте задачу классу, и пусть кто-то её решит, а вы оцените это решение. ♦ Деление с остатком Пример 1. Число 14 пе делится нацело па 3, так как пет натурального числа, при умножении которого на 3 получится 14. В самом деле, будем перемножать последовательно числа на-турально1’о ряда на 3. Получим числа, расположенные в порядке возрастания: 1-3 = 3, 2-3 = 6, 3-3 = 9, 4-3=12, 5-3=15. 51 Первое из этих чисел есть 3, второе больше первого на 3, третье больше второго тоже на 3 и т. д. Среди этих чисел нет числа 14. Но среди них есть наибольшее число, меньшее 14, — это число 12 = 4'3. Чтобы полу'шть число 14, надо прибавить к 12 число 2, которое меньше 3. Итак, справедливо равенство 14 = 4-3 + 2, где 4 — наибольшее число, произведение которого на 3 меньше 14. Это число называют неполным частным от деления 14 на 3, а число 2 — остатком. Остаток меньше делителя. Результат деления 14 па 3 записывают так: 14:3 = 4 (остаток 2). Пример 2. 38 = 7 • 5 + 3, где 3 Числовые выражения Число 4 можно записать в виде суммы 3 + 1, разности 9-5, произведения 2-2, частного 12:3, степени 2^ или другими способами: 12:2-2; 3 -(12-11) г 1 и т. д. Запись, в которой используются только числа, знаки арифметических действий и скобки, называют числовым выражением. Числовые выражения могут быть сложными. Их упрощение, т. е. постепенное выполнение действий и приведение числового выражения к наиболее простой форме — числу, нередко требует серьё.зных усилий. Для правильного упрощения числовых вы1>ажений мало знать правила выполнения отдельных действий. Нужно ещё знать порядок выполнения этих действий. 1) Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление, то эти действия выполняют по порядку слева направо. Например, укажем порядок действий в двух выражениях: 1 .4 8-3+5 + 10 и 7-8:2:4-5. 56 Г»зел ‘ -. _.uiuu.+ 1ИС 2) Если в числовом выражении есть скобки, то сначала выполняют все действия в скобках, а потом аа скобками. Например: (5+ 32) -8 и 5 + (32 : 8). Скобки, в которые заключено одно действие умножения или деления, принято для краткости опускать. Например, вместо 5 + (32 -8) и 5 + (32 : 8) пишут 5 + 32-8 и 5 + 32:8. Но первыми выполняют те действия, которые должны были стоять в скобках. 3) Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление), то сначала выполняют умножение и деление (слева направо), а затем сложение и вычитание (слева направо). Например: 15 + 48:6-3-52:26 + 3 и 7-9-12:3+12:12. 4) Если в числовом выражении есть степень с натуральным показателем, то сначала нужно записать её в виде числа и только после этого приступать к выполнению остальных действий. Например: 6« — 5» + 10 : 5 = 36 — 25 + 10 : 5. Изменять принятый порядок действий можно только в тех случаях, когда это позволяют законы сложения и умножения. Например: 48 • 26 + 52 — 26 = 26 — (48 + 52). Заметим, что последнее по порядку действие в числовом выражении определяет название числового выражения. Например, 48:6 + 2 — сумма, 48 : (6 + 2) — частное. Мы уже зпаем, почему нельзя число делить па пуль. Про числовые выражения, которые содержат деление на нуль, говорят, что они не имеют смысла. Например, выражение 3 : (4 — 5 — 20) не имеет смысла, так как 4 — 5 — 20 = 0. д Что называют числовым выражением? По каким правилам упрощают числовые выражения, записанные без скобок? Про какие числовые выражения говорят, что они не имеют смысла? 57 Эщ ЕШ ЕШ ЕШ ЕШ Определите порядок действий: а)3-2т5-7; б)3-7-6-3; в)5-(4*12); г)20:(10-6). Какое действие выполняется последним? Как называется результат последнего действия? Замечание. В числовых выражениях вида а + (Ь-с), а-[Ь-с), а + (Ь :с), а- <Ь:с) . принято опускать скобки, но подразумевать их. Таким образом, пишут: a + (h-c) = a + b‘C, a--и л’ ‘ J Рис. 35 Рис. 36 **. / \ / 1И’ .V ■ I» I ^ I иГ 74 Гпава 1. Иг TV» ‘ ij-i- ‘тлг.:т и »Л’пь ИССЛЕДУЕН mi Учащиеся выполняли задание, в котором требуется найти пропущенные числа: □ @ И □ 0 у них получились разные ответы: rieirielfiFI 24191126 и 521 000 000 |Т] [2б| [52] 000 Найдите правила, по которым ребята заполнили клетки, и придумайте ещё одно решение. ДоКЯЗЫвЯЕН «|УП Докажите, что предыдущая задача имеет бесконечно много решений. mi Имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана: а) 3 л воды; б) 7 л воды? %13 Из нескольких монет только одна фальшивая — она легче остальных. Как с помощью чашечных весов без гирь определить фальшивую монету; а) за одно взвешивание, если монет 3; б) за два взвешивания, если монет 9; в) за три взвешивания, если монет 27? FTT1 Используя три цифры 5, знаки арифметических действий и скобки, составьте несколько выражений, имеющих различные значения. Гт Верёвку разрезали на части. При этом сделали б разрезов. Сколько частей получилось? ПТР Имеются брёвна по 4 м и 5 м. Сколько брёвен каждого вида надо распилить, чтобы получить 42 бревна по 1 м и сделать наименьшее число распилов? 75 rm Требуется распилить бревно на 6 частей. Каждый распил занимает 1 мин 30 с. Сколько времени потребуется на эту работу? Лифт поднимается с первого этажа на третий за 6 с. За сколько секунд он поднимется с первого этажа на пятый? Сколькими способами можно уплатить без сдачи 28 рублей, имея монеты по 1 и 5 рублей? Сколькими способами можно разменять 50 рублей монетами в 1 и 5 рублей? %зз Однажды Чёрт предложил Бездельнику заработать. — Как только ты перейдёшь через этот мост, — сказал он, — так твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 копейки. Бездельник согласился и. после третьего перехода остался без гроша. Сколько денег было у него сначала? Три брата получили 24 яблока, причём младшему досталось меньше всех. Видя это, младший брат предложил такой обмен яблоками: «Я оставлю себе половину имеющихся у меня яблок, а остальные разделю между вами поровну. После этого пусть средний брат, а за ним старший поступят так же». Братья согласились. В результате у всех яблок стало поровну. Сколько яблок было у каждого первоначально? Однажды умный бедняк попросил у скупого богача приюта на две недели, причём сказал: «За это я тебе в первый день заплачу 1 р., во второй день —2 р., в третий день —Зр. и т. д. Словом, каждый день я буду прибавлять тебе по одному рублю, так что за один только четырнадцатый (последний) день я заплачу 14 р. Ты же будешь мне подавать милостыню: в первый день копейку, во второй — 2 к., в третий день — 4 к. и т. д., увеличивая каждый день свою милостыню вдвое». Богач с радостью согласился на такие условия, которые ему показались выгодными. Какой барыш принесла эта сделка богачу? 76 г ЛОЛ ■г’ ,\W м ///, / 80 %Ш H3M£FEHHC величин Изучая главу 2, вам предстоит повторить всё, что знаете о геометрических фигурах и их измерении, а также узнать много нового и интересного об углах, треугольниках и четырёхугольниках, окружностях и кругах, о равных фигурах. Решая геометрические задачи, вы будете встречать знакомые предметы окружающего вас мира, познакомитесь с различными единицами измерения величин, с формулами, знание которых поможет вам не только успешно учиться, но и решать практические задачи. Вам предстоит научиться решать текстовые задачи на движение в одном направлении и навстречу друг другу, а также на движение по реке. Такие понятия, как длина, площадь, объём, масса, время, скорость и т. д., называют величинами. Величина есть результат измерения, она определяется числом, выраженным в некоторых единицах. Для обозначения величины пишут число, а рядом — название единицы. Например: 5 см, 10 кг, 12 км, 4 т, 5 мин. Одна и та же величина в разных единицах выражается разными числами. Например: 5 см = 50 мм, 1 4 = 60 мин, 2 кг = 2000 г. Прямая. Луч. Отрезок Поверхность стола или поверхность воды в пруду (в безветренную погоду) может служить примером части плоскости. Всю плоскость невозможно изобразить потому, что она бесконечна, но её можно представить себе. в D Рис. 38 В D А С Рис. 39 Рис. 40 Если согнуть лист бумаги, то линия сгиба будет частью прямой линии. Коротко — частью прямой. Прямая не имеет ни начала, ни конца — она бесконечна. На рисунке всегда изображается только часть прямой, которую прюводят с помощью линейки. Прямую обозначают одной строчной (малой) латинской буквой, например I (рис. 37), и читают: «прямая эль». Точки обозначают заглавными (большими) латинскими буквами, например А, В, С (рис. 37). Отметим па прямой I две различные точки С и D (рис. 38). Тогда эту прямую I называют также «прямая CD*. Через любые две точки можно провести только одну прямую. Отсюда следует, что две различные прямые могут пересекаться только в одной точке. Две различные прямые на плоскости могут и не пересекаться, сколько бы их ни продолжали. Такие прямые называют параллельными. Если прямые АВ и CD (или а и Ь) паргшлельны, то это обозначают так: АВ II CD (или а || Ь) (рис. 39). На рисунке 40 показано, как с помощью угольника и линейки провести параллельные прямые. Точка А, лежащая на прямой, делит её па две части (рис. 41). Каждую из этих частей называют лучом с началом в точке А. Луч, так же как и прямую, обозначают двумя заглавными буквами. При этом на первом месте ставится буква, обозначающая начало луча, а на втором — буква, обозначающая какую-либо другую его точку: луч АВ (рис. 42). Луч с началом в точке А (рис. 43) можно обозначить и АВу и АС. 78 2. М: Часть прямой, ограниченную точками Л и lij называют отрезком АН. Точки А н В называют его концами (рис. 44). Отрезок с концами в точках А и В обозначают АВ или В А. Два отрезка АВ и CD называют равными отрезками, если они совмещаются при наложении (рис. 45). Пишут: AB = CD. В частности, равны отрезки АВ и В А. Представление о плоскости даёт поверхность стола. Приведите другие примеры. fej Представление о прямой даёт туго натянутая нить. Приведите другие примеры. а) Можно ли в школьной тетради изобразить всю прямую? б) Сколько прямых можно провести через две разные точки? в) Как могут располагаться две прямые на плоскости? г) Какие прямые называют параллельными? д) Что называют лучом? е) Что называют отрезком? Нарисуйте прямую, обозначьте её. Отметьте на ней точку, обозначьте её. Запишите обозначения прямой и полученных лучей. ПТР Отметьте две точки. Проведите от руки прямую, проходящую через эти точки. Проверьте точность построения с помощью линейки. Гт На рисунке 46 найдите параллельные прямые. Проверьте с помощью линейки и угольника справедливость ваших утверждений. гт Нарисуйте от руки параллельные прямые. Обозначьте их. Проверьте с помощью линейки и угольника точность построения. Рис. 41 А В Рис. 42 Л В С Рис. 43 В Рис. 44 А В С D Рис. 45 79 rm Проведите прямую АВ и вне её точку С. Через точку С проведите прямую, параллельную прямой АВ. Сколько прямых можно провести через одну точку? гт Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько прямых проведено? Гт Даны четыре точки так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько прямых проведено? Гт На сколько частей прямая делит плоскость? ПТР На сколько частей делят плоскость две прямые, если они: а) пересекаются: б) параллельны? ГГУ1 На сколько частей можно разделить плоскость тремя прямыми? ГГГР Отметьте на листе бумаги точку, проведите несколько лучей с началом в этой точке. Сколько таких лучей можно провести? ГГГЯ Отметьте на прямой две точки А и В. Сколько получилось лучей с началом в этих точках? П71 Сколько получится лучей, если на прямой отметить: а) 3 точки; б) 5 точек; в) 100 точек? Две прямые пересекаются в одной точке. Сколько лучей с началом в этой точке они образуют? Назовите все лучи с вершиной в точках А, В \л С (рис. 47). Сколько лучей получилось? Гт Назовите все отрезки с концами в точках М. N \л К (рис. 48). Сколько отрезков получилось? На прямой отметили четыре точки. Образовалось 6 отрезков с концами в этих точках. Проверьте. fTTI Перечертите рисунок 49 в тетрадь. Обозначьте все точки пересечения прямых, продолжив их. если нужно. На сколько частей разделилась плоскость? Выберите правильный ответ. A. 10 частей Б. 11 частей B. 12 частей М А Рис. 47 А М Рис. 48 В N С N К В 80 2. М: * Измерение отрезков Ученик 5 класса и его сестра-десятикласснида подсчитали число шагов от школы до дома. Получилось, что одно и то же расстояние равно 300 шагам брата и 250 шагам сестры. Очевидно, что разные результаты полу^шлись из-за того, что сестра измеряла расстояние большими шагами, чем брат. В таких случаях говорят, что были использованы различные единицы измерения длины. Отрезок, длина которого принята за единицу измерения, называют единичным отрезком. С его помощью измеряют произвольные отрезки. Возьмём, например, отрезок длиной 1 см в качестве единичного. Тогда измерение удобно производить при помощи сантиметровой линейки. Пусть задан отрезок Л В, длину которого надо измерить. Приложим к пему шкалу с.антиметропой линейки, совместив её пулевую точку о с концом отрезка Л (рис. 50). Если при этом окажется, что точка В совпадает с делением шкалы — например, 5, то говорят, что длина отрезка ЛИ равна 5 см, и пишут: ЛВ = 5см. Л •— 2 3 4 5 6 7 Рис. 50 Длину отрезка АВ называют ещё расстоянием между точками А и В. Отметим, что два равных отрезюг имеют равные длины. Понятно, что всякий отрезок имеет определённую длину, но длина не всякого отрезка в точности равна целому числу сантиметров. Если, приложив шкалу с<штиметровой линейки к отрезку ЛВ так, что точка 0 совпадёт с точкой Л, окажется, что точка В не совпадает с делением шкалы, то можно указать два деления, между которыми находится точка В, — например, 5 и 6 (рис. 51). 0 1 2 3 4 5 6 7 Рис. 51 81 в этом случае точная длина отрезка А В осталась неизвестной. Однако известно, что 5 см ->1Я Точка С расположена на прямой между точками А и В. Длина отрезка ЛС равна 8 см. длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС. Найдите длину отрезка АВ. Точка А расположена на прямой между точками В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС. Найдите длину отрезка А В. На прямой даны точки А, В \л С, причём Лй = 6см, ЛС=13см. Найдите длину отрезка ВС, если: а) точки Л и С лежат по одну сторону от точки А\ б) точки В и С лежат по разные стороны от точки А. На прямой даны три точки Л. Л и С, причём ЛЛ=13см, Л(; = 4см. Найдите длину отрезка ВС. (Задача имеет два решения.) На прямой даны три точки А, В v\ С, причём ЛЛ = 83см, АС = 97 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача? На луче AM отложили отрезки АВ и АС, ЛС = 89 см. Найдите длину отрезка ВС, если: а) АВ на 15 см длиннее ЛС; б) Л Л на 15 см короче АС. Объясните на примере, как измерить длину отрезка с точностью до 1 см: а) с недостатком: б) с избытком; в) с округлением. Измерьте длину и ширину тетради с точностью до 1 см: а) с недостатком; б) с избытком; в) с округлением. Отметьте в тетради две точки. Определите на глаз расстояние между ними. Начертите отрезок с концами в этих точках и измерьте приближённо его длину. С помощью линейки измерьте отрезки, изображённые на рисунке 53, с точностью до 1 см: а) с недостатком; б) с избытком; в) с округлением. Л D Рис. 53 Рейка длиной 147 см разрезана на 4 равные части. Какую длину имеет каждая часть с точностью до 1 см: а) с недостатком; б) с избытком; в) с округлением? 83 Метрические единицы длины в России и в большинстве стран мира за основную единицу длины принят метр (см. «Исторические сведения» на с. 130). Для измерения малых отрезков пользуются долями метра: дециметром, сантиметром и миллиметром. Метр состоит из 10 дециметров: 1 м = 10 дм. Дециметр состоит из 10 сантиметров: 1 дм = 10 см. Сантиметр состоит из 10 миллиметров: 1см = 10 мм. 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм. Примеры: 1) 2358мм = 2м 3 дм 5 см 8мм = 2м 35 см 8 мм. 2) 15 м 48см 4 мм = 15 м 4 дм 8см 4мм=15 484мм. Для измерения больших расстояний введена единица длины километр, равная 1000 метрам: 1 км = 1000 м. Очень большие расстояния — астрономические — выражают в виде степеней числа 10 или в виде произведения некоторого числа и степени числа 10. Например, радиус Солнца равен 700 000 км = 7 • 10^ км, а среднее расстояние от Земли до Солнца равно 150 000 000 км = 15 • 10^ км. Очень малые длины измеряют микронами и микромикропамн: 1мм =1000 микрон, 1 микрон = 1000 микромикрон. При измерении ещё меньших длин указывают, какую часть микрона они составляют. «?П!1 Как называют основную единицу длины? гЕСЯ Какие единицы длины используют для измерения небольших отрезков? Какие единицы длины используют для измерения больших расстояний? ’Im Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы: 1 мм 1 см 1 дм 1 м Юм ИИ ) м 1 км а) Во сколько раз увеличиваются единицы длины при переходе слева направо на одну клетку? 84 2. М: 6) Во сколько раз уменьшаются справа налево на одну клетку? в) Во сколько раз: 1) 1 см больше 1 мм; 3) 1 м больше 1 мм; 5) 100 м больше 1 мм; 7) 1 дм больше 1 см; 9) Юм больше 1 см; 11) 1 км больше 1 см; 13) Юм больше 1 дм; 15) 1 км больше 1 дм; единицы длины при переходе 2) 1 дм больше 1 мм; 4) Юм больше 1 мм; 6) 1 км больше 1 мм; 8) 1 м больше 1 см; 10) 100 м больше 1 см; 12) 1 м больше 1 дм; 14) 100 м больше 1 дм; 16) 1 км больше 1 м? ПП птя гт и m в) 10 дм; е) 27 000 мм. Выразите в метрах; а) 1 км; б) 17 км; г) 270 дм; д) 9700 см; Выразите в дециметрах; а) 1 м; б) 43 м; в) 1 км; г) 17 км; д) 30 см; е) 9700 см. Выразите в сантиметрах; а) 1 м; б) 27 м; в) 1 км; г) 17 км; д) 9700 мм; е) 27 000 мм. Выразите в миллиметрах; а) 9 см; б) 27 см; в) 10 дм; г) 270 дм; д) 1м; е) 17 м. Выполните упражнение по образцу. 2308мм = 2м 3дм 0см 8мм = 2м 3дм 8мм. а) 1937 мм; б) 2079 мм; в) 12 938 мм; г) 179 см; д) 92 703 см; е) 62 074 дм. ГГ7^ Выполните упражнение по образцу. 2 м 3 дм 8мм = 2м 3 дм 0 см 8 мм = 2308 мм. а) 1 м 3 дм 8 см 4 мм; б) 2 м 7 см 9 мм; в) 23 м 7 дм 3 см б мм; г) 4 м 7 дм 6 см; д) 567 м 1 см; е) 2 км 504 м 4 дм. КМ дм мм м см 85 rm Данные величины запишите с точностью до 1 дм с недостатком: с избытком; с округлением по образцу: 6 дм 7 см « 6 дм с недостатком: 6 дм 7 см « 7 дм с избытком и с округлением. а) 7 дм 6 см: б) 8 дм 4 см; в) 3 дм 5 см; г) 1 м 8 дм 3 см; д) 4 м 5 дм б см; е) 7 м 3 дм 5 см; ж) 29 см; з) 41см; и) 235 см. Гт Туристы прошли 70 км за 4 дня. Определите, какое расстояние они проходили в день, если считать, что каждый день они проходили одно и то же расстояние. Ответ выразите приближённо с точностью до 1 км: а) с недостатком; б) с избытком: в) с округлением. Нще ЕЗ Найдите в учебнике, справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы: а) Что означают приставки кило-, санти-, деци-, милли-? б) Какие ещё приставки используют при измерении расстояний? в) Что такое световой год? Где используют эту единицу? ^ Представление натуральных чисел на координатном луче Числа удобно представлять точками прямой. Для этого задают луч, выходящий из точки О в направлении, отмеченном стрелкой, и отрезок, длину которого принимают за единицу. Этот отрезок называют единичным отрезком. На луче от начальной точки О отложим один за другим несколько отрезков единичной длины (рис. 54). Будем считать, что точка О представляет число нуль, правый конец первого единичного о’грезка — число 1, правый конец вто|ЮГО единичного отрезка — число 2 и т. д. Мы построили координатный луч. С его помощью натуральные числа и нуль изображаются точками. Начальную точку О называют нулевой то»жой или точкой 0 (ну.чь). Говорят ещё, что точка О О h- Рис. 54 86 Г 13^ 2. И:,‘м.’ к ис имеет координату О, и нишут О (0). Следующие точки называют соответственно: точка 1, точка 2 и т. д. Координатный луч напоминает линейку, на которой отмечены числа о, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д., с той лишь разницей, что любая линейка ограничена (конечна), а координатный луч неограничен (бесконечен). Невозможно полностью изобразить бесконечный координатный луч, но можно себе его представить (вообразить). Поэтому на координатной оси можно изобразить только несколько первых натуральных чисел. Произвольное натуральное число п изображается на координатном луче точкой, расстояние от которой до нулевой точки равно п единичным отрезкам. Эту точку называют точкой п или точкой с координатой л. О Рис. 55 о 1 6 Например, на рисунке 55 отмечена точка А с координатой 5, пишут Л (5). ДлиЕга отрезка ОЛ равна 5 едипичпым отрезкам. Обычно координатный луч располагают горизонтально и направляют слева направо. В этом случае точка, имеющая большую координату, расположена на координатном луче правее. Поэтому натуральные числа можно сравнивать при помощи координатного луча по правилу: Из двух натура.чьных чисел больше то, которое на координатном луче находится правее. Какой отрезок называют единичным? Как построить координатный луч? ^П2 Как сравнивают натуральные числа при помощи координатного луча? Гт Дан координатный луч. Некоторые его точки обозначены буквами (рис. 56). Укажите координаты точек А, В, С, I) и Е. Найдите расстояние от этих точек до нулевой точки. Например, А (2), О А = 2. О А В С D Е Рис. 56 0 1 2 3 4 5 6 87 [■ ‘.па . * ‘ ‘ ■ ‘ .11 rm Постройте координатный луч с единичным отрезком 1 см (2 клетки тетради). Отметьте точки 1, 2, 3. 4, 5, 6, 7. Обозначьте точки с координатами 7, 5, 3, 1 соответственно буквами Л, В, С и D. Гт Какая из точек Л (5), B(^00) и С (56) расположена на координатном луче: а) правее других; б) левее других? Назовите три точки, расположенные на координатном луче правее точек с указанными координатами, и три точки, расположенные левее их; а) 7; б) 13; в) 100; г) 998. ТП Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами; а) о и 9; б) 4 и 14; в) 90 и 120? На рисунке 57 изображён координатный луч. Назовите отмеченные на нём точки. а) В б) С D 17 18 179 180 в) К 1999 2000 г) М N а а + 1 Рис. 57 -[ОД По рисунку 58 определите координату точки А приближённо с точностью до 1: а) с недостатком; б) с избытком. а) б) 5 9 5 7 Рис. 58 Гт Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно; на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево. Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 попасть: а) в точку 6; б) в точку 7? 88 2. М: Окружность и круг. Сфера и шар Установим острие циркуля неподвижно в точке О, а ножку с карандашом будем свободно вращать, не меняя раствора циркуля. Карандаш начертит на плоскости замкнутую линию — окружность (рис. 59). Точку О называют центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой, называют радиусом. Его длину тоже называют радиусом. Все точки окружности удалены от её центра на одинаковое расстояние, равное радиусу. Можно также сказать, что окружность состоит из точек, удалённых от её центра на расстояние, равное радиусу. Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 60 отрезки OL, О А, ОБ — радиусы окружности, АВ — её диаметр, CD — хорда. Две точки делят окружность на две части, называемые дугами. Обычно рассматривается одна из дуг окружности, определяемая по смыслу задачи. Часть плоскости, состоящую из всех точек окружности и всех точек, лежащих внутри окружности, называют кругом. На рисунке 61 и.зображён круг с центром О и радиусом О А. Круг состоит из точек, удалённых от данной точки на В 89 Рис. ?Г71 ?m ГГТР rm П7Я1 62 расстояние, меньшее или равное его радиусу. Все точки пространства, удалённые от данной точки (центра) на одно и то же расстояние, образуют сферу. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой её точкой, называют радиусом сферы. Часть пространства, состоящую из всех точек сферы и всех точек, находящихся внутри сферы, называют шаром (рис. 62). Все точки шара удалены от его центра на расстояние, меньшее или равное радиусу шара. а) Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму окружности. б) Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму круга. Назовите центр, радиус, диаметр окружности, изображённой на рисунке 60. а) Представление о сфере даёт теннисный мяч. Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму сферы. б) Представление о шаре даёт арбуз. Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму шара. Задача-шутка. На рисунке 63 изображён воздушный шарик. Как его было бы правильнее назвать — «шариком» или «сфериком»? Начертите окружность, радиус которой равен: а) 2 см; б) 5 см; в) 7 см; г) 3 см 5 мм. Какая из фигур, изображённых на рисунке 64, является окружностью? Какая — кругом? Рис. 63 2) 3) Рис. 64 90 2. М: А I- гт ЪГ9 TtTP ?П! Начертите окружность, радиус которой равен отрезку ЛИ (рис. 65). На окружности с центром О и радиусом 2 см отметьте точку Л. Постройте окружность с центром А и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой D (рис. 66). С помощью циркуля от точки В отметьте дуги, равные дуге А В. Убедитесь, что конец шестой дуги, считая от точки А, совпадает с точкой А. С помощью циркуля выполните рисунок 67 на альбомном листе, раскрасьте его цветными карандашами или фломастерами. На рисунке 68 показан цветок, построенный с помощью циркуля. а) Объясните, как этот рисунок получен из рисунка 67. б) Придумайте свой рисунок цветка. Выполните его на альбомном листе и раскрасьте цветными карандашами или фломастерами. Внутри или вне окружности расположены точки, удалённые от её центра на расстояние: а) большее её радиуса; б) меньшее её радиуса? Расстояние между точками А и В равно 5 см. Постройте точку, удалённую от точки А на расстояние 4 см, а от точки В — на расстояние 3 см. Сколько таких точек можно построить? Внутри или вне сферы расположены точки, удалённые от её центра на расстояние; а) большее её радиуса; б) меньшее её радиуса? Дан отрезок АВ. Постройте две окружности с центрами А и В и радиусом АВ. Точки пересечения окружностей обозначьте буквами М и N. Постройте отрезки AM, AN, ВМ, BN. Равны ли отрезки АВ, AM, AN, ВМ и BN1 Убедитесь, что прямая MN делит отрезок АВ пополам. 91 %I3 Ictn im Ha отрезке ЛВ отметьте точку С. а) Постройте две окружности: с центром А и радиусом АС и с центром В и радиусом СВ. Построенные окружности имеют только одну общую точку С. Говорят, что они касаются внешним образом. б) Постройте две окружности: с центром А и радиусом АВ v\ с центром С и радиусом СВ. Построенные окружности имеют только одну общую точку В. Говорят, что они касаются внутренним образом. Постройте две окружности радиусами 3 см и 4 см, касающиеся: а) внешним образом; б) внутренним образом. Постройте две окружности с центрами А \л В \л радиусами 3 см и 5 см, касающиеся внешним образом. Постройте третью окружность, центр которой лежит на отрезке АВ \л которая касается двух первых окружностей внутренним образом. > Углы» Измерение углов Рис. 70 На рисунке 69 изображены два различных луча В А и ВС с общим началом В. Они делят плоскость на две части, называемые углами. Обычно рассматривают один из этих углов — его определяют по смыслу задачи и отмечают дугой или пггриховкой. Угол АВС обозначают так: ZABC. Точку В называют вершиной утла, лучи В А и ВС — его сторонами. Иногда для краткости угол обозначают одной буквой, обозначающей вершину угла. Тот же угол ЛВС обозначают так: ZB. Два угла называют равными, если они совмещаются при наложении. Па рисунке 70 изображены два угла: ZABT) и ZDBC. Если лист бумаги перегнуть по прямой BD, то лучи ВА и ВС совпадут. Углы ABD и ВВС равны. Пишут: ZAFil) = ZDBC — и говорят: «Угол ABD равен углу ВВС*. Равные углы отмечают одинаковыми дугами. 92 2. М: Если на нрямой отметить точку, то образуется два луча, выходящих из одной точки. Эти лучи тоже делят плоскость на две части, каждую из которых называют развёрнутым углом. На рисунке 71 изображён развёрнутый угол ЛИС. Перегнём лист бумаги так, чтобы лучи ПА и ВС совпали, и расправим лист. Тогда линия сгиба MN разделит каждый из развёрнутых углов па два равных угла, каждый из которых называют прямым углом (рис. 72). Углы измеряют в градусах. Считается, что развёрнутый угол содержит 180 градусов. Его половина — прямой угол — содержит 90 градусов. Градус обозначают знаком «“*. Пишут: Z.ABC=im\ ZABM = 90\ Для более точного измерения углов используют доли градуса: минуты *’» и секунды «»*. 1° = 60′; Г = 60″, откуда 1° = 3600″. Для измерения углов в градусах пользуются транспортиром. На рисунке 73 показано, как измеряют углы с помощью транспортира. Транспортир используют также для построения углов с заданной градусной мерой. На рисунке 74 показано, как с помощью транспортира можно построить угол АВС, равный 60°. Угол, меньший прямого, называют острым. Величина острого угла меньше 90″. Угол, больший прямого, но меньший развёр- Рис. 73 /ЛВС — 120“ /MNK-G0° 93 Г.’.ава sent, .ии в Рис. 74 нутого, называют тупым. Величина тупого угла больше 90’^, но меньше 180°. На рисунке 75 показаны острый угол АВС и тупой угол МОК. Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называют перпендикулярными. На рисунке 72 прямая MN перпендикулярна прямой АС. Пишут: MN ± АС. Отметим, что на рисунке 72 изображены 4 прямых угла: ZABM = ZCBM = ZCBN = Z ABN = 90°. Ъти Что называют углом, вершиной угла, сторонами угла? а) Какие углы называют равными? б) Какой угол называют развёрнутым? прямым? острым? тупым? Ътж Сколько градусов содержит развёрнутый угол, прямой угол? Ъш Какие прямые называют перпендикулярными? На рисунке 76 изображены углы. Проверьте результаты измерения. Назовите острые, прямые и тупые углы. rFTl С помощью транспортира измерьте углы на рисунке 77 и сделайте в тетради соответствующие записи. ГГГР С помощью транспортира постройте углы, равные; 90°; 50°; 30°; 60°; 100°; 95°; 105°; 45°; 135°; 15°. Рис. 75 М О К 94 2. ‘4: а) К R iW Р Q D / MNK = 70’ /. PQR = 90’ Z.XYZ = 90’ О Н AGOH = 135’ К Рис. 77 Определите угол между направлениями (рис. 78): а) север и восток; б) север и юг; в) север и запад: г) запад и восток; д) северо-восток и восток; е) северо-восток и юго-восток; ж) северо-восток и юго-запад; з) северо-запад и восток. Рис. 78 95 г ;пва И уощ.. rm тз %I3 а) Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в: 6 ч; 3 ч; 1 ч; 5 ч? б) На какой угол повернётся часовая стрелка за: 6 ч; 3 ч; 1ч; 4 ч? в) На какой угол повернётся минутная стрелка за: 30 мин; 15 мин; 10 мин; 1 мин? Выразите в минутах: 1°; 7°; 10°; 30″; 90″; 180″. Выразите в секундах: 1′; 1″; 1°1′; 4″3′; 10″; 10′. Выполните сложение по образцу: 4″7’19″+ Г52’48″= 5″59’67″= 5″60’7″= 6″7″. %Ц а) 37″12′ + 5″7’19»; в) 5″27′ + 3″56′; д) 23’52» + 8″; 6) 49’33» + 24’28»; г) 4Ч7’29’Ч Г45’38»; е) 89″59’59″+ 1″. ГПИ ГГП1 %ти Выполните вычитание по образцу: 4″17’9″ — 3″29’28» = 4°16’69» — 3″29’28″= 3″76’69» — 3″29’28» = = 47’41». а) 17″-29′; 6) 9″31′-2″58′; в) 5’47»-3’56»; г) 4°37’19»-3″39’58»; д) 23’5″-8″; е) Г-1″; ж) Г-1′; 3) Г-59’55». а) На отрезке А В отметьте точки С и 7). Сколько отрезков получилось? б) Постройте острый угол АОВ. Проведите внутри этого угла два луча OD и ОЕ. Сколько острых углов получилось? Внутри развёрнутого угла АВС проведите луч BI). Он разбивает развёрнутый угол на два угла ABD и BDC, которые называют смежными углами. Чему равна сумма величин смежных углов? Луч ОС делит развёрнутый угол АОВ на два смежных угла АОС и вое так, что угол АОС на 30″ больше угла ВОС. Найдите /АОС и /ВОС. Луч ОС делит развёрнутый угол АОВ на два смежных угла АОС и ВОС так, что угол АОС в 3 раза больше угла ВОС. Найдите /АОС и /ВОС. Могут ли смежные углы быть: а) оба прямые; б) оба острые; в) оба тупые? 96 П»П 2. ‘Л\ ‘А‘ у,. KU’ /U-. iP.H 1> )2 О 1) В Внутри развёрнутого угла ЛОВ ^ проведены два луча OD и ОС так, что ZAOC =iS0’\ а ZDOB= 120°. Найдите ZDOC. Прямые А В Vi CD пересекаются С в точке О (рис. 79). Углы АОС и BOD называют вертикаль- Рис. 79 ными. Назовите другую пару вертикальных углов. Чему равна сумма величин углов 1 и 3? Чему равна сумма величин углов 3 и 2? Верно ли, что Zl+z3 = z3 + z2? Верно ли, что Zl=z2? Верно ли утверждение: вертикальные углы равны? При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Определите величины этих углов, если один из них: а) в 5 раз больше другого; б) на 40″ больше другого. Исследуем %!Я Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. На рисунке 80 изображены окружность с центром О, касательная АВ и радиус окружности ОС. С —точка касания. а) Определите углы, образованные касательной и радиусом окружности, проведённым в точку касания. б) Покажите, как должны располагаться две окружности, чтобы они имели а общих касательных? Рассмотрите все возможные случаи: а = 0, 1, 2. 3, 4. 97 Треугольники Воаьмём на плоскости три точки А, В и С, не лежащие па одной прямой, и соединим их отрезками. Полученную фигуру называют треугольником (рис. 81). Точки Л, В и С называют вершинами треугольника. Углы Л, В и С называют углами треугольника, отрезки АВ, АС и ВС — его сторонами. Треугольник с вершинами Af В н С обозначают так: t\ABC, читают: «треугольник АВС*. Заметим, что треугольником АВС называют как линию, составленную из отрезков АВ, ВС и АС, так и эту линию вместе с частью плоскости, расположенной внутри этой линии. В Рис. 81 А Л \ /1______к ‘ С Если все углы треугольника острые, то его называют остроугольным треугольником. Если один из углов треугольника прямой, то его называют прямоугольным треугольником. Если один из углов треугольника тупой, то его называют тупоугольным ^’реугольником. В треугольнике не может быть больше одного прямого или тупого угла. На рисунке 82 tsABC — остроугольный, tsMNK — прямоугольный, /SPQR — тупоугольный. Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным, а если три стороны треугольника равны, то его называют равносторонни.м. Если все стороны треугольника имеют разные длины, то его называют разносторонним. Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром. Рис. 82 В N М Q 98 2. М: Два треугольника называют равными, если их можно совместить при наложении. Например, на рисунке 83 треугольники ЛВС и MNK равны, так как они совмещаются при перегибании листа бумаги по прямой I. На рисунке 84 показан порядок построения равнобедренного треугольника с основанием 3 см и боковой стороной 4 см с помощью циркуля и линейки. Построить треугольник, длины сторон которого равны длинам заданных отрезков, можно в том случае, если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков. Например, треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см построить можно, так как 3 см 1 см I 2 см. Треушль-ник со сторонами 1 см, 2 см и 3 см тоже построить нельзя, так как 3 см = 1 см 2 см. 3 см 1 в / N / \ 1 \ У \ / \ J \ / V / ‘ \ А С к м ГП’ о 1 3 см г 3 см Рис. 83 Рис. 84 99 Рис. 85 О В Какие виды треугольников вы знаете? Что такое периметр треугольника? Определите вид треугольника на рисунке 85. Гт Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника. Сделайте вывод. Постройте отрезок АВ. Постройте равносторонний треугольник со стороной АВ. Измерьте углы построенного треугольника. Сделайте вывод. Гт Кузнечик прыгает на 5 единичных отрезков в любом направлении на плоскости. Сможет ли он за несколько прыжков из точки О координатного луча попасть в точку 4? Если сможет, то покажите, как кузнечик это сделает. ИУД Постройте треугольник: а) остроугольный: б) прямоугольный: в) тупоугольный: г) равнобедренный: д) равносторонний: е) равнобедренный и остроугольный: |.\ ж) равнобедренный и тупоугольный. Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Измерьте его углы. гт а) Одна сторона треугольника равна 10 см, она на 2 см меньше второй стороны и на 3 см меньше третьей. Вычислите периметр этого треугольника. б) Одна сторона треугольника равна 12 см, она на 4 см больше второй стороны и на 3 см больше третьей. Вычислите периметр этого треугольника. в) Одна сторона треугольника равна 12 см, она на 3 см меньше второй стороны и на 2 см больше третьей. Вычислите периметр этого треугольника. г) Одна сторона треугольника равна 25 см, она на 4 см больше второй стороны и на 5 см меньше третьей. Вычислите периметр этого треугольника. 100 г пп 2. И: rm a) Сторона равностороннего треугольника равна 7 см. Вычислите периметр этого треугольника. б) Периметр равностороннего треугольника равен 27 см. Вы- ____ числите сторону этого треугольника. В равнобедренном треугольнике даны длины двух сторон: 5 см , и 6 см. Каким может быть периметр треугольника? Периметр равнобедренного треугольника ЛИС равен 30 см, а одна из сторон на 3 см больше другой. Какими могут быть ^ стороны треугольника ЛВС? а) Верно ли, что если два треугольника равны, то их периметры равны? б) Верно ли, что если периметры двух треугольников равны, то и сами треугольники равны? Ю5 Четырёхугольники Возьмём на плоскости четыре точки Л, В, С и D, такие, что никакие три из них не лежат на одной прямой, и соединим их отрезками ЛВ, ВС, CD и DA (рис. 86—88). Если отрезки ЛВ, ВС, CD и DA не имеют других общих точек, кроме точек А, В, С и D, то полученную фигуру называют четырёхугольником ABCD. На рисунках 86 и 88 изображен четырёхугольник А BCD, а на рисунке 87 изображена фигура, не являющаяся четырёхугольником, в дальнейшем такие фигуры рассматриваться не будут. Отрезки АВ, ВС, CD и DA называют сторонами, углы А, В, С и D — углами, а точки А, В, С и D — вершинами четырёхугольника ABCD. Заметим, что четырёхугольником ABCD называют как линию, составленную из отрезков АВ, ВС, CD и DA, так и эту линию вместе с частью плоскости, расположенной внутри этой линии. Сумму длин сторон четырёхугольника называют его периметром и обозначают буквой Р. Таким образом, P=AB+BC+CD+DA. В D В с у В с Л _ D D А Рис. 86 Рис. 87 Рис. 88 101 [■ ■ . П|. Рис. 89 Два чотырсхугольпика называют равными, если их можно совместить при наложении. Например, на рисунке 89 четырёхугольники ЛВСЬ и KLMN равны, так как они совмещаются при перегибании листа бумаги по прямой т. Четырёхугольник, у которого все углы прямые, называют пря-моугольником. На рисунке 90 изображён прямоугольник AUCD. Точки А, В, С и I) называют вершинами прямоугольника, а отрезки АВ, ВС, CD и AD — его сторонами. Нижнюю и верхнюю стороны прямоугольника называют ещё основаниями прямоугольника. Они равны и параллельны. Две другие стороны называют высотами, они тоже равны и параллельны. Принято считать, что слово «сторона» означает не только от-рюзок, но и его длину. Прямоугол1,пик, у которого все стороны р>авпы, называют квадратом. На рисунке 91 изображён квадрат MNKL. В L А Рис. 92 102 2. М: D rm Определите периметр четырёхугольника ЛВС1) (рис. 92). Найдите на рисунке 93 равные четырёхугольники. Гт Постройте два равных четырёхугольника. ^Н2 а) Верно ли, что если четырёхугольники равны, то равны и их периметры? 6) Верно ли, что если периметры двух четырёхугольников равны, то эти четырёхугольники равны? Ъги Какой четырёхугольник называют прямоугольником? а) Какой прямоугольник называют квадратом? б) Является ли любой квадрат прямоугольником? Является ли любой прямоугольник квадратом? Какой из четырёхугольников, изображённых на рисунке 94, является: а) прямоугольником; б) квадратом? Постройте в тетради прямоугольник со сторонами: а) 5 см и 3 см; б) 71 мм и 27 мм. Постройте в тетради квадрат со стороной: а) 4 см; б) 34 мм. Гт Найдите периметр прямоугольника со сторонами: а) 12 см и 9 см; б) 93 см и 2 см; в) 11 см и 47 мм; г) 17 см и 3 дм. В Рис. 94 N, D М К Fr G II Q в 103 Гг|^м rm Составьте выражение для вычисления периметра прямоугольника со сторонами: а) 15 см и 32 см; б) 15 см и Ьсм] в) а см и 32 см; г) « см и &см. Гт Найдите периметр прямоугольника, если одна из его сторон равна 37 см, а другая; а) на 6 см больше; б) на 8 см меньше. Гт Найдите периметр прямоугольника, если одна из его сторон равна 26 см, а другая; а) в 3 раза больше; б) в 2 раза меньше. Периметр прямоугольника равен 56 см, одна из его сторон равна 17 см. Найдите его другую сторону. гт а) Периметр прямоугольника равен 48 см. основание на 4 см больше высоты. Найдите высоту прямоугольника. б) Периметр прямоугольника равен 54 см, основание на 5 см больше высоты. Найдите большую сторону прямоугольника. в) Периметр прямоугольника 36 дм, основание на 6 см больше высоты. Найдите стороны прямоугольника. гт Сторона квадрата равна 13 см. Найдите его периметр, а) б) В Л^| А С м L D Рис. 96 В Рис. 95 Рис. 97 104 авя _ Измкг’^нив «»ЛИчИ! rm Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата, имеющего такой же периметр, что и данный прямоугольник. :у^р Сторону квадрата увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличился периметр квадрата? Как изменится периметр квадрата, если его сторону; а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 3 раза? ГУЛ Убедитесь, что на рисунке 95, а изображено 18 прямоугольников. Учтите, что квадрат является прямоугольником. Сколько прямоугольников изображено на рисунке 95, б? ГУЛ Четырёхугольник, все стороны которого равны, называют ромбом. На рисунке 96 изображены ромбы Л BCD и MNKL. Измерьте их стороны и вычислите периметры. ГУЛ а) Чему равен периметр ромба, если одна его сторона равна 20 см? | б) Чему равна сторона ромба, если его периметр равен 20 см? Постройте ромб KLMN, если КЬ = 4 см, ZK = S0». Измерьте длину отрезка LN и величину угла L, Периметр треугольника ЛИП равен 12 см, периметр треугольника В ПС — 30 см. а периметр четырёхугольника ЛИСП — 32 см (рис. 97). Определите длину отрезка ВП. Площадь прямоугольника. Единицы площади Говорят, что квадрат со стороной 1 м имеет площадь один квадратный метр (1 мЯ). квадрат со стороной 1 дм имеет площадь один квадратный дециметр (1дм^), квадрат со стороной 1 см имеет площадь один квадратный сантиметр (1 см*), квадрат со стороной 1 мм имеет площадь один квадратный миллиметр (1 мм*), квадрат со стороной 1 км имеет площадь один квадратный километр (1 км*). Вместо слов «единица измерения длины* часто говорят «линейная единица*, а квадрат, сторона которого равна линейной единице, называют единичным квадратом. Говорят, ^гго площадь единичного квадрата равна одной квадратной единице (1 м*, 1 дм*, . ). 105 ft — 5 CM a = 3 CM Рис. 98 C помощью единичных квадратов измеряют площади прямоугольников. Если прямоугольник можно разрезать на k единичных квадратов, то говорят, что он имеет площадь S, равную k квадратным единицам. Например, на рисунке 98 изображён прямоугольник с основанием а = 3см и высотой 6 = 5 см. Е1го можно разрезать па 5 слоёв по 3 квадрата в каждом слое, т. е. па 5-3=15 единичных квадратов со стороной 1 см. Следовательно, его площадь S равна 5-3=15 (см^). Е^сли основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и Ь, то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту: S — a-h (квадратных единиц). Так как у квадрата все стороны равны, т. е. а = Ь, то S = a‘a = a^ (квадратных единиц), т. е. площадь квадрата равна второй степени его стороны. Поэтому часто вторую степень числа называют квадратом числа. Так как 1 см = 10 мм, то 1 см^= 10 -10 мм^= 100 мм^. Аналогично 1 дм^ =10-10 см’* = 100 см’*, 1 м^ = 10 -10 дм’* = 100 дм*, 1 км* = 1000 — 1000 м* = 1 000 000 м*. Используя степень числа 10, квадратный километр можно записать так: 1 км*= 10® м*. Для измерения площадей небольших земельных участков оказалось удобным ввести единицу измерения — 1 ар (обозначают 1 а). Это площадь квадрата со стороной 10 м. Так как 1 а = 10 -10 м*= 100 м*, то эту единицу измерения площади часто называют соткой. 106 2. М: 0 1 2 3 4 5 6 7 Рис. 99 Т—1—Г J____L Рис. 100 Для измерения площадей более крупных земельных участков ввели единицу измерения — 1 гектар (обозначают 1 га). Это площадь квадрата со стороной 100 м. То есть 1 га = 100 • 100 м^ = 10 000 м’^; 1 га = 100 а. Равные прямоугольники имеют равные площади. При измерении площадей чаще всего используют приближённые значения величин. Например, пусть требуется найти площадь S прямоугольника ABCD (рис. 99). Измерив его стороны АВ и AD, получим /1Д«Зсм и А Г) ^5 см с недостатком, значит, площадь S прямоугольника ABCD больше чем 3-5=15(см2), т. е. ^S>15cm2. Если взять длины сторон с избытком: Л/1«4см, Л/)«6см, то площадь прямоугольника ABCD будет мепьгпе чем 4-6 = 24(см2), т. е. S 109 Рис. 102 Рис. 103 в которых пересекаются рёбра, называют вершинами прямоугольного параллелепипеда. У прямоушльного параллелепипеда шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. Три 1)ебра прямоугольного параллелепипеда, которые сходятся в одной вершине, называют еш длиной, шириной и высотой. Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равпы, называют кубом. На рисунке 102 изображена корюбка, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда. Если её разрезать по вертикальным рёбрам, а затем развернуть, то получится развёртка прямоугольного параллелепипеда (рис. 103). fel На рисунке 101 изображён прямоугольный параллелепипед. Назовите его грани, рёбра и вершины. Сколько у прямоугольного параллелепипеда граней, рёбер и вершин? а) Что называют кубом? б) Является ли любой прямоугольный параллелепипед кубом? Является ли любой куб прямоугольным параллелепипедом? Выполните в тетради рисунок прямоугольного параллелепипеда. Обозначьте его вершины буквами. Постройте развёртку куба со стороной 2 см. гт Постройте развёртку спичечного коробка на альбомном листе в натуральную величину. Вырежьте её, оставляя в нужных местах 110 2. И: Рис. 104 б) 2 Е52Й %Ц %Ц припуски для склеивания. Склейте прямоугольный параллелепипед. а) Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь поверхности куба, т. е. сумму площадей всех его граней. б) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба. На гранях куба (рис. 104) написали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи. Рядом с кубиком изображены его развёртки, на которых указано одно из этих чисел. Укажите остальные числа. На рисунке 105 изображены игральный кубик и его развёртка. Какое число изображено на: а) нижней грани; б) боковой грани слева; в) боковой грани сзади? На рисунке 106 изображены два одинаковых игральных кубика в разных положениях. Какие числа изображены на нижних гранях кубиков? Маша собралась клеить кубики, и для этого она нарисовала различные заготовки (рис. 107). Старший брат посмотрел её работу и сказал, что некоторые из них не являются развёртками кубика. Какие заготовки являются развёртками кубика? а) б) Рис. 106 % i а) Рис. 107 б) 111 — in;] 2. в) и-‘Щ-:; г) А А А / Рис. 109 Рис. 110 Перерисуйте рисунок 108 в тетрадь и обведите жирной линией видимые рёбра куба так, чтобы куб был виден; а) сверху и справа; 6) снизу и слева. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см. а) Найдите площадь его основания и площадь боковой поверхности, т. е. сумму площадей боковых граней. б) Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда. Объясните, почему в задании «а» могут получиться три разных ответа. На рисунке 109 изображён куб, сложенный из восьми одинаковых кубиков с ребром 1 см. Сколько прямоугольных параллелепипедов на этом рисунке? ЧЮ Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см (рис. 110). У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань; только две грани; три грани? ^ * Объём прямоугольного параллеле- пипеда. Единицы объёма Говорят, что куб с ребром 1 м имеет объём один кубический метр (1 м^), куб с ребрюм 1 дм имеет объём один кубический дециметр (1 дм=*), куб с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр (1 см3), куб с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр (1 мм3), куб с ребром 1км имеет объём один кубшюский километр (1 кмЗ). 112 2. М: / / / / ^ / Куб, ребро которого равно линейной единице, называют едипич-ным кубом. Объём единичного куба принимают за единицу измерения обт.-ёмов. р]сли прямоугольный параллелепипед можно разрезать на k единичных кубов, то говорят, что его об’ьём V равен k кубическим единицам: V—k куб. ед. На рисунке 111 изображён прямоушльный параллелепипед, у которого ширина равна 3, длина — 4, а высота — 2 линейным единицам. Этот прямоугольный параллелепипед можно разрезать на 2 слоя, в каждом из которых по 3 • 4 единшгаых куба. Всего прямоугольный параллелепипед содержит 2-(3-4) = 24 единичных куба, т. е. его объём равен 24 единицам объема. Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина, ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а, 6 и с, то объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: Рис. 111 V = a-b’ с (кубических единиц). Площадь S основания прямоугольного параллелепипеда равна а • Ь, поэтому V = S -с. Объём V прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Так как у куба все рёбра равны, т. е. а = Ь = с, то V = а*, т. е. объём куба равен третьей степени длины его ребра. Поэтому часто третью степень числа называют кубом числа. Выразим одни единицы объёма через другие: 1 см^= 10 • 10 • 10 мм^= 1000 мм^, 1 дм’^= 10 • 10 • 10 см-^= 1000 см^, 1 м=^ = 10.10 • 10 дм^ = 1000 дм», 1 км-‘= 1000 • 1000 • 1000 м-‘= 1 000 000 000 м’‘= 10» м\ 113 Для измерения объёмов жидкостей и сыпучих веществ используют специальную меру — литр (обозначают 1 л): 1 л = 1 дм^. Ът а) Какой куб называют единичным? б) Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда? в) Чему равен объём куба? г) Какие единицы измерения объёмов вы знаете? Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы; 1 мм 1 см 1 дм 1 м 10 м 100 м 1 км 1 мм^ 1 см^ 1 дм? 1 м? 1 а 1 га 1 км? 1 мм^ 1 см3 1 дм3 1 м3 1000 м3 1 000 000 м3 1 кмз 1ТП1 im а) Во сколько раз увеличиваются единицы объёма, записанные в третьей строке таблицы, при переходе слева направо на одну клетку? б) Во сколько раз уменьшаются единицы объёма при переходе справа налево на одну клетку? в) Во сколько раз: 1) 1 см’* больше 1 мм’*; 2) 1 дм’* больше 1 см’*; 3) 1 дм^ больше 1 мм^: 4) 1 м^ больше 1 дм^; 5) 1 м^ больше 1 см^; 6) 1 км^ больше 1 м^? а) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд. Какой длины получился ряд? 6) Если куб с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и сложить их в ряд, то какой длины получится ряд? Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, если его рёбра равны; а) 18 см, 16 см, 5 см; б) 12 см, 45 см, 2 см; в) 16 см, 23 см, 25 см; г) 11см, 11см, 11см. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, площадь основания и высота которого равны: а) 136см^, 5 см; б) 298 см^, 4 см; в) 154см^, 8 см; г) 91 см^, 19 см. а) Площадь пола комнаты 24 м^, высота комнаты 3 м. Найдите объём комнаты. б) Объём комнаты 45 м’-*, а площадь пола 15м’ остыо 65 км/ч. Какой путь он прошёл? Решение. Умножим скорость поезда на время движения: 65 • 4 = 260 (км) — путь поезда. Ответ: 260 км. Задача 2. Пешеход за Зч прошёл 12км. Какова его скорость? Решение. Разделим путь, пройденный пешеходом, на время движения: 12:3 = 4 (км/ч) — скорость пешехода. Ответ: 4 км/ч. Задача 3. Велосипедист проехал 24 км со скоростью 8 км/ч. Сколько времени он затратил на этот путь? Решение. Разделим путь, который проехал велосипедист, на его скорость: 24 : 8 = 3 (ч) — время движения велосипедиста. Ответ: 3ч. Движение по реке. Скорость катера в стоячей воде (в о.зере) называют ещё собственной скоростью катера. Если катер движется по течению 1>еки, то его ско]юсть равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки; если же катер движется против течения реки, то его скорость равна разности его собственной скорости и ско1Юсти течения <юки. Задача 4. Скорость катера в стоячей воде равна 15км/ч, а скорость течения реки — Зкм/ч. Какова скорость катера по течению и скорость катера против течения реки? Решение. 1) 15 + 3= 18(км/ч) — скорость катера по течению реки; 2) 15 - 3 = 12 (км/ч) — скорость катера против течения реки. Ответ: 18 км/ч и 12 км/ч. Обратим внимание: скорость катера по течению реки — это сумма его собственной скорости и скорости течения реки, а скорость катера против течения реки — это разность его собственной скорости и скорости течения реки, поэтому 119 скорость по течению реки больше скорости против течения на удвоенную скорость течения. ЗП7' Скоро I I - - - - [ : сть по теч. I I Ут. I I I I j I ! Скорость пр. т1еч.' I I I I —:—1 ' I I I I Задача 5. Скорость моторной лодки по течению реки равна 48 км/ч, а против течения — 42 км/ч. Какова скорость течения реки и собственная скорость моторной лодки? Решение. 1) 48-42 = 6 (км/ч) — удвоенная скорость течения; 2) 6:2 = 3 (км/ч) — скорость течения; 3) 48 - 3 = 45 (км/ч) — собственная скорость. Ответ: 3 км/ч и 45 км/ч. Скорость удаления, скорость сближения. Рассмотрим задачи, при решении которых полезно использовать скорость удаления и скорость сближения. Задача 6. Два пешехода вышли одновременно в противоположных направлениях из одного пункта. Скорость первого 4 км/ч, а второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними черюз 3 ч? Решение. Эту задачу можно решить, вычислив предварительно путь, пройденный каждым пешеходом. I способ. 1) 3*4 = 12 (км) — прошёл 1-й пешеход за 3 ч; 2) 3*5= 15 (км) — прошёл 2-й пешеход за 3 ч; 3) 12 т 15 = 27 (км) — расстояние между пешеходами через 3 ч. Для решения той же задачи можно составить числовое выражение 3 • 4 т 3 • 5, вынести общий множитель 3 за скобки: 3 • 4 + 3 • 5 = 3 • (4 + 5). Теперь видно, что задачу можно решить вторым способом. Сумма 4 + 5 показывает, на сколько километров в час удаляются пешеходы друг от друга, эту величину называют скоростью удаления. II способ. 1) 4 + 5 = 9 (км/ч) — скорость удаления; 2) 9-3=27 (км) — расстояние между пешеходами через 3 ч. Ответ: 27 км. 120 г-—:. 2. И:, Задача 7. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 27 км. Через сколько часов они встретятся, если скорость первош 4 км/ч, а скорость вторюго 5 км/ч? Решение. Решим эту задачу, определив скорость сближения. 1) 4 + 5 = 9 (км/ч) — скорость сближения; 2) 27 : 9 = 3 (ч) — через это время пешеходы встретятся. От вег. через Зч. а) Пешеход за Зч прошёл 12км. Какова его скорость? б) Какой путь прошёл катер по озеру за 2 ч со скоростью 12 км/ч? в) Бревно плывёт по реке, скорость течения которой 3 км/ч. За какое время оно проплывёт 15 км? ^ПЗ а) Мальчик заметил, что на путь по течению реки было затрачено меньше времени, чем на тот же путь против течения. Чем это можно объяснить, если мотор лодки работал одинаково хорошо во время всей поездки? б) На путь из пункта Л в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь —2 ч. В каком направлении течёт река? в) Скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч. Какой путь пройдёт катер за 3 ч? г) Скорость течения реки 2 км/ч. На сколько километров река относит любой предмет (щепку, плот, лодку) за 1 ч, за 5 ч? Скорость катера в стоячей воде 18 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью будет двигаться катер по течению реки? против течения? пт Скорость катера в стоячей воде равна 12 км/ч, а скорость течения реки —3 км/ч. Определите: а) скорость катера по течению реки; б) скорость катера против течения реки; в) путь катера по течению реки за 3 ч; г) путь катера против течения реки за 5 ч. ГГГР а) Собственная скорость теплохода 27 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь по течению реки между двумя причалами, если расстояние между ними 120 км? б) Сколько времени потребуется для того, чтобы проплыть на моторной лодке 90 км против течения, если её собственная скорость 20 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч? 121 1-1 ^1^ FTTP grp Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, проплыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние проплыл катер за всё время, если скорость течения реки 2 км/ч? а) Расстояние между причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь между причалами туда и обратно, если собственная скорость моторной лодки 10 км/ч, а скорость течения 2 км/ч? б) Расстояние между двумя причалами 36 км. Сколько времени потратит на путь от одного причала до другого и обратно катер, если его собственная скорость 15 км/ч, а скорость течения реки Зкм/ч? Определив скорости, заполните таблицу: ^^собсю. *^гочония ^по том. ^’пр. точ. 1 12 км/ч 4 км/ч 2 25 км/ч 28 км/ч 3 24 км/ч 20 км/ч 4 5 км/ч 17 км/ч 5 3 км/ч 16 км/ч 6 45 км/ч 39 км/ч [ИЗ Определите, какая скорость получится следующим действием; а) б) Уе.-Ут.: в) ,+у. г) + д) »^,ю. а) По течению моторная лодка проплыла 48 км за 3 ч, а против течения — за 4 ч. Найдите скорость течения. б) Катер проплыл 72 км по течению за 2 ч, а против течения за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывут плоты? Скорость течения равна 3 км/ч. На сколько километров в час скорость катера по течению больше скорости против течения? 15 июля 1923 года из Москвы в Нижний Новгород вылетел аэроплан «Ультиматум». Так была открыта первая трасса Аэрофлота длиной 420 км. Аэроплан шёл на высоте 250 м и преодолел всё расстояние за 3 ч 30 мин. Найдите скорость аэроплана. Какие условия в задаче являются лишними? 122 2. М: rm a) Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины. Их скорости 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления автомашин. б) Два поезда вышли с одной станции в противоположных направлениях. Их скорости равны 60 км/ч и 70 км/ч. Через сколь- ____ ко часов расстояние между поездами будет 260 км? Гт а) Из двух сёл, расстояние между которыми 36 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч? Определите скорость сближения пешеходов. б) Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения ав-____ томашин. ГПГР а) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, а второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся? б) Старинная задача. Идёт один человек в другой город и проходит в день по 40 вёрст’, а другой человек идёт навстречу ему из другого города и в день проходит по 30 вёрст. Расстояние между городами 700 вёрст. Через сколько дней путники встретятся? а) Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 ч до встречи? через 1 час после встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? б) Расстояние от села до города 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу? Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух сёл. расстояние между которыми 54 км. Через сколько часов велосипедисты будут друг от друга на расстоянии ____ 27 км, если их скорости 12 км/ч и 15 км/ч? а) Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? Здесь и далее старинные единицы и.тме1)ения смотри на (<юрзаце. 123 l-i'f J SO EE3 6) Из двух пунктов, удалённых друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, а второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого? Некий юноша пошёл из Москвы к Вологде. Он проходил в день по 40 вёрст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день по 45 вёрст. Через сколько дней второй догонит первого? Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 вёрст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери? Из двух городов, расстояние между которыми 900 км, одновременно навстречу друг другу вышли товарный и скорый поезда. Товарный поезд может пройти это расстояние за 18 ч, а скорый — вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся? а) Расстояние мехсду городами А \л В равно 720 км. Из Л в Я вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из Л в Л вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после выхода второго поезда они встретятся? б) Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через Зч вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Через сколько часов велосипедист догонит пешехода? Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 мин по 500 сажен, а собака в 5 мин — 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца. Пассажир метро, стоящий на ступеньке эскалатора, поднимается вверх за Змин. Если он идёт вверх, то поднимается за 2 мин. С какой скоростью идёт пассажир метро, если длина эскалатора 150 м? Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 15 мин папа заметил пропажу. Как далеко друг от друга в этот момент находились лодка и шляпа, если собственная скорость лодки 8 км/ч, а скорость течения Зкм^? Нет ли в задаче лишних данных? 124 Два поезда движутся навстречу друг другу по параллельным путям —один со скоростью 100 км/ч. другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шёл мимо него 12 с. Какова длина первого по-езда? Железнодорожный состав длиной 1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин, а через туннель при той же скорости -___ за 3 мин. Какова длина туннеля? а) Из пункта А в пункт Л вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из Л в Л выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до Л, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между л и Л 30 км? б) Из пункта А в пункт Л, расстояние между которыми 17 км, выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно с ним из А в Л вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Велосипедист доехал до Л, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся? в) Расстояние между двумя пунктами 12 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростью 10 км/ч и 8 км/ч. Каждый из них доехал до другого пункта, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся во второй раз? далолнемня к глявс Возьмём на плоскости несколько точек, например Л, Л, С, D, Е, и соединим топки А и Л, Л и С, С и D, D и Ё отрезками. Если никакие два из этих отрезков, имеющих общие точки, не лежат на одной прямой, то полученную линию называют ломаной линией или, коротко, ломаной и обозначают АЛСЛЕ. Отрезки АЛ, ЛС, CD и DE называют звеньями ломаной. На рисунке 112 изображена ломаная АЛСЛЕ, она имеет че'гыре звена АЛ, ЛС, CD и DE. Рис. 112 125 Г '.оаа эель-..^м Е Рис. 113 В ^ Сумму длин всех звеньев ломгшой на- зывают длиной ломаной. Например, длина ломаной ABCDE на рисунке 112 есть ЛВ » ВС f CD ч DE. Длина ломаной ABCDE В больше расстояния АЕ между её концами. Если конец ломаной совпадает с её началом, то ломаную называют замкнутой. Например, ломаная ABCDE А на рисунке 113 замкнутая. Фигуру, образованную такой замкнутой ломаной линией, что никакие два её звена не имеют общих точек, кроме концов соседних звеньев ломаной, называют многоугольником. На рисунке ИЗ изображён многоугольник, а па рисунке 114—замкнутая ломаная линия, не являющаяся многоугольником. Рис. 114 В многоугольнике звенья ломаной назы- вают сторонами многоугольника, углы, составленные каждыми двумя соседними сторонами, — углами многоугольника, а их вершины — вершинами многоугольника. Сумму длин сторон многоугольника называют его периметром. Заметим, что многоугольником называют как замкнутую ломаную, так и эту линию вместе с частью плоскости, расположенной внутри этой линии. Многоугольник называют выпуклым, если он весь расположен по одну сторюну от каждой прямой, содержащей его сторону, Например, на рисунке 115 многоугольник ABCDE выпуклый, а многоугольник MNKLO нет. Наименьшее число сторон в многоугольнике равно трём. По числу сторон многоугольник называют треугольником, четырёхугольником, пятиугольником и т. д. Многоугольник называют правильным, если все его углы и все стороны равны. Примером правильного многоугольника является квадрат. Два многоугольника называют равными, если их можно совместить при наложении. Например, на рисунке 116 многоуголь-Рис. 115 ники ABCDE и KLMNO равны, так как С D Г 126 2. М: Рис. 116 с А Рис. 117 D они совмещаются при наложении. Равные многоугольники имеют равные площади. Для определения площади части плоскости, находящейся внутри многоугольника или какой-либо другой фигуры, надо выяснить, сколько раз выбранная единица площади содержится в этой части плоскости. fel а) Какую линию называют ломаной линией? б) Что называют звеньями ломаной? в) Как обозначают ломаную? г) Какую ломаную называют замкнутой? Fm Постройте ломаную ABODE. Назовите все её звенья. Существует ли замкнутая ломаная, имеющая три звена, длины которых равны: а) 1см, 2 см, 2 см; б) 1см, 2 см, 3 см; в) 1см, 2 см, 4 см? FT71 На рисунке 117 изображена ломаная ABCD. ЛД = Зсм, ДС = 4см, С/7=13см, Л/7=12см. Определите длину ломаной ABCD и расстояние между её концами. Дакязывл£и Докажите, что длина ломаной АВС больше длины ломаной а) Что называют многоугольником? б) Что называют сторонами, углами, вершинами многоугольника? в) Что называют периметром многоугольника? г) Какой многоугольник называют выпуклым? д) Какие многоугольники называют равными? Гт Постройте пятиугольник ЛИСП К. Назовите все его стороны и вершины. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называют диагональю многоугольника. Например, в четырёхугольнике ЛИС!) отрезки АС и /i/>—диагонали (рис. 119). Сколько диагоналей в выпуклом; а) четырёхугольнике; б) пятиугольнике: в) шестиугольнике: г) семиугольнике? %1Я Сколько диагоналей в выпуклом; а) десятиугольнике; б) двадцатиугольнике? Исслсдусм Рис. 119 а) Исследуйте зависимость числа диагоналей (d) выпуклого многоугольника, выходящих из одной его вершины, от числа сторон этого многоугольника (л). Результаты занесите в таблицу. Л 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d 1 2 б) Задайте формулой зависимость d от л. ГУД а) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( ё Признаки делимости Если число окапчиваотся цифрой О, то оно делится на 10. Например, число 4560 оканчивается цифрой О, его можно прюд-ставить в виде произведения 456-10, которое делится на 10 (по свойству 1). Число 4561 не делится на 10, потому что 4561 =4560 т 1 — сумма числа 4560, делящегося но 10, и числа 1, не делящегося на 10 (по свойству 4). 137 Если число оканчивается одной из цифр О или 5, то оно делится на 5. Например, число 2300 делится на 5, потому что это число делится на 10, а 10 делится на 5 (по свойству 2). *1исло 2305 оканчивается цифрой 5, оно делится на 5, так как его можно записать в виде суммы (2300 + 5) чисел, делящихся на 5 (по свойству 3). Число 52 не делится на 5, потому что 52 = 50 i 2 — сумма числа 50, делящегося па 5, и числа 2, не делящегося па 5 (по свойству 4). Если число оканчивается одной из цифр О, 2, 4, G, 8, то оно делится на 2. Например, число 130 оканчивается цифрой 0, опо делится па 10, а 10 делится на 2, следовательно, 130 делится на 2 (по свойству 2). Число 136 оканчивается цифрой 6, оно делится на 2, так как его можно записать в виде суммы (130 + 6) чисел, делящихся па 2 (по свойству 3). Число 137 не делится на 2, потому что 137 = 130 + 7 — сумма числа 130, делящегося на 2, и числа 7, не делящегося на 2 (по свойству 4). Число, делящееся на 2, называют чётным. Число, не делящееся на 2, называют нечётным. Например, числа 152 и 790 — чётные, а числа 111 и 293 — нечётные. Если сумма цифр числа делится па 9, то и само число делится па 9. Например, сумма цифр 7 + 2 + 4 + 5=18 числа 7245 делится на 9. Число 7245 делится на 9, потому что его можно представить в виде суммы 7 • 1000 + 2 • 100 + 4 • 10 + 5 = 7 • (999 + 1) + 2 • (99 + 1) + 4 • (9 + 1) + 5 = = (7 • 999 + 2-99 I 4 • 9) + (7 + 2 + 4 ) 5), где сумма в первых скобках делится на 9, а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 (по свойству 3). Число 375 не делится на 9, так как сумма его цифр 3 f 7 » 5= 15 не делится на 9. Это можно доказать следующим образом: 138 vp.’ _ л 375 = 3 (99 f 1) + 7.(9ч 1) f 5 = (3-99 f 7 • 9) 4 (3 f 7 f 5), где сумма в первых скобках делится па 9, а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — не делится на 9 (по свойству 4). Если сумма цифр числа делитс,я на 3, то и само число делится на 3. Например, у числа 375 сумма цифр 3 + 7+5 = 15 делится на 3 и оно само делится на 3, потому что 375 = (3 • 99 + 7 • 9) + (3 + 7 + 5), где сумма в первых скобках делится на 3, а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3. Сумма цифр числа 679, равная 6 + 7 + 9 = 22, не делится на 3, и само число не делится на 3, потому что 679 = (6 • 99 + 7 • 9) + (6 + 7 + 9), где сумма в первых скобках делится на 3, а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3. Примечание. Когда говорят «число оканчивается цифрой. *, имеют в виду «десятичгшя запись числа закапчивается цифрой. ». Сформулируйте признаки делимости на 10, на 5, на 2. Какое число называют чётным? Назовите 6 чётных чисел. Какое число называют нечётным? Назовите 7 нечётных чисел. Сформулируйте признаки делимости на 9, на 3. Гт Какие из чисел 128, 325, 500, 506, 725, 905, 830, 962, 750, 1000, 1262, 2440 делятся на: а) 2; 6) 5; в) 2 и 5; г) 10? ГТП Напишите шесть чисел, которые делятся на: а) 2; б) 5; в) 2 и 5; г) 10. гт а) Напишите все числа от 15 до 95, которые делятся на 10. б) Напишите все числа от 23 до 46, которые делятся на 5. в) Напишите все числа от 51 до 73, которые делятся на 2. ГГГЯ С помощью цифр 2, 3, 5, 7 (без повторения) запишите все четырёхзначные числа, которые делятся; а) на 2; б) на 5. гт Можно ли с помощью цифр 1, 2, 5, 6 (без повторения) составить трёхзначное число, которое делилось бы: а) на 2; б) на 3; в) на 5; г) на 10? и Покажите, что чётные числа 18, 20, 48, 96 можно записать в виде 2 • k, где k — некоторое натуральное число. 139 I VI-VwHJSfJX ‘lb Дакязывясн Докажите, что произведение чётного числа и любого натураль-: ного числа есть число чётное. Докажите, что сумма двух чётных чисел является чётным числом. Покажите, что нечётные числа 7, 9, 5, 13 можно записать в виде 2 • /г + 1, где k — некоторое натуральное число. Докязывясм ГТГЯ Докажите, что сумма двух нечётных чисел является чётным I числом. ГУП Определите, делится ли число 111 111 111 111 111: а) на 3; б) на 9. !ТГР Какую цифру нужно поставить вместо звездочки, чтобы полученное число делилось на 9: а) 4*: б) 5*: в) 85*: г) 738*: д) 6*7: е) 7*2: ж) 24*0: 3) 2090*? ТГЯ Ученик выполнил сложение: а) 3548 + 7256 + 8108 = 18 911; б) 9756 + 8322 + 6565 = 24 642. Учитель, не проверяя вычислений, определил, что в обоих примерах допущена ошибка. Как он обнаружил ошибку? !ТП1 Назовите наибольшее и наименьшее шестизначное число, которое делится на: а) 2: б) 3: в) 5: г) 9: д) 10. %а Саша купил в магазине 20 тетрадей, 2 альбома для рисования, авторучку за 6 р., несколько карандашей по 60 к. и несколько обложек для книг по 1 р. 20 к. Продавец сказал, что нужно заплатить в кассу 34 р. 25 к. Саша попросил пересчитать стоимость покупки, и ошибка была исправлена. Как он определил, что продавец ошибся в подсчётах? 140 ф.’ Дакязывясн ГПИ Докажите признак делимости на 4; если две последние цифры числа образуют число, делящееся на 4, то и само число делится на 4. (Считайте записи 00, 04 и 08 записями чисел 0. 4 и 8.) Гт Какие из чисел 7928; 3553; 1996; 1795; 7 568 936; 1000; 5700 делятся на 4? Используя признак делимости на 4, определите четыре первых високосных года XXI века. Не выполняя сложения, определите, каким числом (чётным или нечётным) является сумма: а) 1 +3 + 5 + 7 + 9+ 11 + 13+15; б) 5+ 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 65; в) 9 + 29 + 49 + 69 + 89+109+ 129+ 149+ 169. Дакязывясн Докажите, что нельзя подобрать: : а) три нечётных числа, сумма которых равна 12; : б) пять нечётных чисел, сумма которых равна 100. Докажите, что: а) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная; б) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная. 3 3. Простые и составные числа Каждое натуральное число р делится на 1 и само на себя: р:1=р, р:р=1. Простым числом называют такое HaTyptuibHoe число, которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя. Вот первые десять простых чисел: h Ъ, 5, ■*, Г.. 13 17 ‘.9, ЬЪ, Р). 141 г пва яату! чисол HenpocTiJfi натуральные числа, большие единицы, называют составными. Каждое составное число делится на 1, само на себя и ещё хотя бы на одно натуральное число. Вот все составные числа, меньшие 20: % 6, &, 7. ‘О, V., 15, V, 1.. Принято считать, что единица не является пи простым, ни составным числом. Таким образом, множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел, составных чисел и единицы. Простых чисел бесконечно много, есть первое число — 2, но нет последнего простого числа. На . . JX ‘ 1Л 2H 231 “fea fm а) Каки0 числа называют взаимно простыми? Приводите примеры взаимно простых чисел. б) Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел? в) Известно, что число а делится нацело на число Ь. Чему равен НОД (а, 6)? Найдите все делители чисел 45 и 60. Найдите все общие делители чисел 45 и 60. Найдите: б) НОД (50. 45): в) НОД (42, 48): д) НОД (124, 93): е) НОД (46. 69). а) НОД (30, 36): г) НОД (120, 150): Найдите: а) НОД (24. 48): г) НОД (256, 32): б) НОД (62. 31): д) НОД (45. 15): в) НОД (132.11): е) НОД (21,63). Число 12321 делится на 111. Найдите НОД(12321, 111). Найдите: а)НОД(14,7): б) НОД(26, 13): в)НОД(48.8): г) НОД(64. 16): д)НОД(45,9): е) НОД(11,66). С помощью разложения чисел на простые множители докажите, что являются взаимно простыми числа: а) 24 и 35: б) 56 и 99: в) 63 и 88: г) 12 и 25: Д) 32 и 33. Найдите: а) НОД (13. 5): б) НОД(3, 11): в) НОД (29. 19): г) НОД (54. 55): Д) НОД (62. 63): е) НОД (98. 99). Дакязывясн Докажите, что два простых числа являются взаимно простыми. Докажите, что два соседних натуральных числа являются взаимно простыми. :—ИгЖ Придумайте пять пар таких чисел я и &, чтобы НОД (я, 6) = 1. Найдите: а) НОД (320, 40): б) НОД (233, 79): в) НОД (278: 279): г) НОД (484. 44): д) НОД (84. 96): е) НОД (100: 175). : tz- я Ученик нашёл НОД (33, 198) и получил 66. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как он это сделал? НОД (33, 198) = 66 148 1|. %Z3 ши Объясните, почему наибольший общий делитель двух чисел: а) не может быть больше одного из этих чисел; б) делится на все общие делители этих чисел. Даны разложения чисел а и 6 на простые множители. Найдите НОД (а, Ь). б) а = 2^.3^*-52- 113, ft=2-53.7 -19’’. а) а = 23.3^ • 5 • 7^ ft = 2^-3^>-5?-7; Найдите: а) НОД (1,48): г) НОД (100, 25): б) НОД(15,55): в) НОД (182, 82); д) НОД (1000, 125): е) НОД (121, 11). Для участия в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников, состоящие только из мальчиков или только из девочек. Какое наибольшее число участников может быть в каждой команде? Сколько команд получится? Для новогодних подарков приготовили 184 мандарина и 138 яблок. В какое наибольшее число подарков можно разложить все эти мандарины и яблоки так, чтобы во всех подарках было поровну мандаринов и поровну яблок? 31 ♦ В Наименьшее общее кратное Число, делящееся на 12, называют кратным числу 12. Числу 12 кратны числа 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 и т. д. Числу 18 кратны числа 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 и т. д. Мы видим, что имеются числа, кратные одновременно 12 и 18. Например, 36, 72, 108, . Эти числа называются общими кратными чисел 12 и 18. Наимеиыним общим кратным натуральных чисел а и h называют наименьшее натуральное число, делящееся нацело на каждое из чисел а и ft. Это число обозначают: НОК (а, ft). Наименьшее общее кратное двух чисел обычно находят одним из двух способов. Рассмотрим их. Найдём НОК (18, 24). I способ. Будем выписывать числа, кратные 24 (большему из данных чисел), проверяя, делится ли каждое из них на 18: 24 • 1 = 24 — не делится на 18, 149 24 • 2 = 48 — не делится на 18, 24-3 = 72 — делится на 18, поэтому НОК(24, 18) =72. II способ. Разложим числа 24 и 18 на гцюстые множители: 24 = 2-^-3, 18 = 2-32. ПОК(24, 18) должно делиться и на 24, и на 18. Поэтому искомое число содержит все простые делители большего числа 24 (т. е. числа 2, 2, 2, 3) и ещё множители из разложения меньшего числа 18, которых нет в разложении большего числа (т. е. ещё одно число 3). Поэтому НОК(18, 24) = 2 -2 -2 -3 -3 = 72. Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, 24 и 25 — взаимно простые числа. Поэтому НОК (24, 25) = 24 — 25 = 600. Если одно из двух чисел делится нацело на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них. Например, 120 делится нацело па 24, следовательно, НОК (120, 24)= 120. гт Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел? Найдите несколько чисел, кратных 10. и несколько чисел, кратных 15. Найдите несколько общих кратных чисел 10 и 15. Чему равно наименьшее общее кратное чисел 10 и 15? Найдите: б) НОК (15. 25): в) НОК (16. 12): д) НОК (35. 20): е) НОК (56, 63). а) НОК (6. 8): г) НОК (48. 42): Найдите: а) НОК (6. 12): г) НОК (33,3): б) НОК (40. 8): в) НОК (51. 17): д) НОК (34, 2): е) НОК (16,48). Число 123 454 321 делится на 11111. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел, не выполняя разложения чисел на простые множители. Найдите: а) НОК (135, 5): 6) НОК (120, 10): в) НОК (432, 2): г) НОК (234, 9): д) НОК (123,3): е) НОК (16. 64). Известно, что число а делится нацело на число Ь. Чему равно НОК (а. Ь)? 150 ГГ7^ Являются ли взаимно простыми числа: а) 12 и 25 г) 22 и 51 ж) 17 и 48 б) 40 и 39 д) 48 и 49 з) 11 и 45 в) 55 и 42; е) 39 и 50; и) 13 и 50? Ьтщ гт 222 [212 гтп Найдите наименьшее общее кратное этих чисел. Найдите: а) НОК(4,5): б)НОК(3,11): в)НОК(7,8): г)НОК(9, 10); д)НОК(5, 13); е)НОК(17.3); ж) НОК(13, 11): 3) НОК(10, 11); и) НОК(19,20). Напишите пять пар чисел а \л Ь, чтобы НОК(а, 6) = а. Найдите: а) НОК(36,48): б) НОК(49,50): в) НОК(14, 15); г) НОК(99, 100): д) НОК(28, 21): е) НОК(24, 23). Найдите: а) НОК(19, 10); б) НОК(11. 110); в) НОК(26, 52); г) НОК(11,23): д) НОК (88. 66): е) НОК (198, 9). НОК (33, 198) = 99 Ученица нашла НОК (33, 198) и получила 99. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как он это сделал? Объясните, почему наименьшее общее кратное двух чисел: а) не может быть меньше любого из этих чисел; б) делится на все делители этих чисел. Даны разложения чисел а и ft на простые множители, найдите НОД (а, ft) и НОК (а, ft), а) а = 2з.З’’-5, б) а = 2^-3^-5^, b = 2’^^3^^5^: ft = 3^-53. (Для решения задачи достаточно составить произведение и не вычислять его.) Убедитесь, что НОД (36. 24) • НОК (36. 24) = 36 • 24. Выполняется ли это свойство для других пар чисел? Докязывясм Докажите, что НОД (а, ft) • НОК (а, ft) = а а) для взаимно простых чисел; б) для любых чисел. 151 Г;;пп,] 3. 1. I. VI ‘1И Какой наименьшей длины может быть верёвка, чтобы её можно было разрезать без остатков на куски: а) как по 4 м, так и по 5 м; б) как по 4 м, так и по 6 м? Мальчик хочет купить несколько пачек мороженого по 8 р., но у него только 5-рублёвые монеты, а у продавца нет сдачи. Какое наименьшее число пачек мороженого он может купить? Из двух сцепленных шестерёнок одна имеет 16 зубцов, а другая —28 зубцов. До начала вращения шестерёнок соприкасающиеся зубцы пометили мелом. Через какое наименьшее число оборотов каждой шестерёнки метки будут совпадать? дапалнсния к глясе :з I. fib Использование идеи чётности позволяет решать разнообразные задачи, в условии которых ничего не говорится о чётности. Задача 1. Можно ли разменять 20р. семью монетами, достоинство каждой из которых 1 р. или 5 р.? Если взять любые две монеты, то получится чётное число рублей: 1 + 1 = 2, 1 + 5 = 6, 5 + 5=10, поэтому любые шесть монет дают чётное число рублей. Если же добавить седьмую монету (достоинством 1 р. или 5 р.), то получится нечётное число рублей. Следовательно, 20 р. нельзя разменять семью монетами по 1 р. и 5 р. В рассмотрюнной задаче требуется чётное число (20) представить в виде суммы нечётного числа (7) нечётных слагаемых (1 и 5). Сделать это невозможно, как и показано выше. Задача 2. Имеется 13 палочек. Некоторые из них разломали или на 3, или на 5 частей. Затем некоторые из палочек опять ра.зломали или на 3, или на 5 частей, и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 палочек? 152 Нн vpe 4 г Здесь не сказано, сколько палочек разламывали на части каждый раз и на сколько именно частей, поэтому перебор всех возможных вариантов довольно сложен. Если одну палочку разломать на 3 части, то палочек станет на 2 больше, а если одну палочку разломать на 5 частей, то палочек станет на 4 больше. Разламывая палочку или на 3, или на 5 частей, мы увеличиваем их общее число или на 2, или на 4 палочки, т. е. на чётное число палочек. Первоначальное число палочек 13 — нечётное, и, добавляя к нему каждый раз чётное число палочек, невозможно получить чётную сумму 100, так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная. Задача 3. Можно ли, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, нарисовать одним росчерком: а) распечатанный конверт (рис. 134); б) нераспечатанный конверт (рис. 135)? Нарисовать, соблюдая условия задачи, распечатанный конверт умеют многие пятиклассники, а вот нарисовать нераспечатан-пый конверт не удалось ещё пикому. В чём тут дело? Обратим внимание на то, что в одних точках сходится чётное число линий (назовём их чётными узлами), а в других — нечётное число линий (назовём их нечётными узлами). Отметим, что если узел нечётный, то в нём обязательно должно или начинаться, или заканчиваться рисование линии (рис. 136). Ек:ли же узел чётный, то в нём не обязательно начинать или заканчивать рисование линии — его можно пройти один или несколько раз, но если всё же в нём начать рисование линии, то в нём же нужно и закончить (рис. 137). Рис. 136 Рис. 137 153 Рис. 138 Рис. 139 Если на рисунке 134 отметить чётные и нечётные узлы соответственно буквами и то получится рисунок 138. На нём всего два нечётных узла, поэтому, начав рисование в одном из них и пройдя по всем линиям по одному разу, закончим рисование в другом нечётном узле. Так как па рисунке 138 имеется два нечётных узла и у линии, которую мы рисуем, одно начало и один конец, то распечатанный конверт можно нарисовать, соблюдая условия задачи (на рисунке 139 стрелками показано направление движения карандаша). Если на рисунке 135 отметить чётные и нечётные узлы соответственно буквами 44* и то получится рисунок 140, на котором нечётных узлов больше двух. Начав рисование линии в одном из них, невозможно его закончить во всех остальных нечётных узлах одновременно, так как искомая линия имеет одно начало и один конец. Поэтому нераспечатанный конверт нельзя нарисовать, соблюдая условия задачи. Вася записал на листе бумаги несколько нечётных чисел. Петя их не видел, но утверждает, что по количеству записанных чисел легко определит, чётная или нечётная у них сумма. Прав ли Петя? гГТР Некто утверждает, что знает 4 натуральных числа, произведение и сумма которых нечётные числа. Не ошибается ли он? Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разорвали или на 7, или на 9 частей. Некоторые из образовавшихся частей разорвали или на 7, или на 9 частей, и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 частей? 154 jpr Рис. 141 Записано четыре числа: О, О, О, 1. За один ход разрешается прибавить 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 равных числа? «Чы !> В шести коробочках лежат деньги. В первой 1р., во второй 2 р., в третьей Зр. и т. д., в шестой 6 р. За один ход разрешается в любые две коробочки добавить по 1 р. Можно ли за несколько ходов уравнять суммы в коробочках? Fm Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, нарисуйте фигуры, изображённые на рисунке 141. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, попробуйте нарисовать фигуры, изображённые на рисунке 142. ТиТЖ в задании 706 вам не удалось нарисовать две последние фигуры. Оказывается, этот результат зависит от числа «нечётных» узлов фигуры, в которых сходится нечётное число линий. Сколько «нечётных» узлов должно быть, чтобы фигуру можно было нарисовать? F771 Какую из фигур, изображённых на рисунке 143, нельзя нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды? б) Рис. 143 155 Глава 3. Делимое;^ иатуральяых чисол Fm Придумайте свои фигуры, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды. Почтальон разнёс почту во все дома деревни, после чего зашёл с посылкой к Феде. На рисунке 144 показаны все тропинки, по которым проходил почтальон, причём, как оказалось, ни по одной из них он не проходил дважды. В каком доме живёт Федя? Каков мог быть маршрут почта-____ льона? ^>гТП Экскурсоводу нужно выбрать маршрут по залам музея так, чтобы обойти все залы, не проходя ни через одну дверь дважды. Где нужно начать и где закончить осмотр? Найдите один из возмож- ____ ных маршрутов (рис. 145). Задача Л. Эйлера. Можно ли поочерёдно обойти все семь мостов г. Кёнигсберга (ныне Калининград), соединяющих районы этого города с островами на реке Прегель (рис. 146), проходя по каждому мосту только один раз? Рис. 144 1 2 3 4 5 6 7 8 Lil Lii Рис. 145 а) .г-‘’] / у / б) Рис. 146 Рис. 147 156 FTFP На рисунке 147, а линия проведена так, чтобы она пересекала каждую сторону каждого маленького прямоугольника только один раз. Можно ли такую линию нарисовать на рисунке 147, б? Если можно, то покажите как, если нельзя, то объясните почему. В старину на Руси говорили: «Умноженье — моё мученье, а деление— беда*. Тот, кто умел быстро и безошибочно делить, считался большим математиком — ведь в школах тогда учили только сложению, вычитанию и таблице умножения. Делимость натуральных чисел интересовала математиков уже в глубокой древности. Особое внимание они уделяли простым числам. Ведь эти числа входят множителями в любое составное число— «составляют* его. Поэтому очень важно узнать тайны простых чисел — сколько их, как они распределены в натуральном ряду и т. д. В книге «Начала* древнегреческого учёного Евклида (III в. до н. э.) доказано, что простых чисел бесконечно много. В этой же книге указан способ (алгоритм) нахождения НОД двух натуральных чисел. Во II веке до и. э. другой древнегреческий математик — Эратос-(|)ен предложил довольно лёгкий способ отыскания простых чисел. Немного изменяя способ Эратосфена, запишем «шсла от 1 до 100 в таблицу по 6 чисел в строке. 1 не простое число и не составное — вычеркнем его. Число 2 простое — обведём его кружком, а все числа, кратные ему (они стоят во втором, четвёртом и шестом столбцах), вычеркнем. Первое из незачёркпутых чисел 3. Оно простое — обведём его кружком, а все 157 Глава ч/. Депимос.;1> ипурапьмых чисел л. Эйлер П. л. Чебышев И М. Виноградов незачёркнутые числа, кратные ему (они стоят в третьем столбце), вьиеркнем. Теперь первое из незачёркнутых чисел 5. Оно простое — обведём его кружком, а все незачёркнутые числа, кратные ему (они расположены на параллельных прямых), вычеркнем. После вычеркивания из таблицы чисел, кратных 7 (они также расположены па паршллельпых прямых), в пей останутся только простые числа — они тоже обведены кружком. Аналогичные рассуждения можно провести, если взять больше 100 чисел. При этом в таблице как бы просеиваются составные числа и остаются только простые. Эратосфен записывал свою таблицу на папирусе, натянутом на рамку, и составные числа прокалывал. Получалось своеобразное числовое сито, через кото1юе составные числа просеивались, а простые оставались. Поэтому таблицу и сам способ стали называть «решетом* Эратосфена. Он позволяет сократить обч>ём работы при составлении таблицы простых чисел. С древнейших времён математики пытались понять, как расположены простые числа в натуральном ряду, и найти общую формулу для нахождения простых чисел. Например, если в формулу P=n^-n^’il подставлять вместо л натуральные числа 1, 2, 3, 4, . 40, то будут получаться простые числа: при л = 1 Р= 1^-1-f41 = 41, при л = 2 Р = 2^-2 +41 = 43, при п = 3 Р = 3^-3-4-41 = 47, при л = 4 Р = 4^ — 4 4-41 = 53 и т. д. Но общей формулы простых чисел пока не найдено. Начиная с некоторого номера л, формулы перестают «работать*. Если взять л = 41, то по рассмотренной формуле получится P = 4l2 —41-г41 — составное число, делящееся на 1, 41, 41^. Великий математик, академик Петербургской академии наук Л. Эйлер (1707—1783), уделял большое внимание вопросам дели- 158 мости — это ему ыринггдлежит формула Р = — п \ Л. Эйлер рас- сматривал и такую задачу: ♦Определить, сколько простых чисел содержится между двумя данными натуральными числами, не пересчитывая их непосредственно*. Этой задачей в дальнейшем занимались многие крупные математики всего мира. Большой вклад в её решение внёс великий русский математик академик П. Л. ^Гебышёв (1821—1894), доказавший, в частности, что между числами п и 2п (л>1) имеется по крайней мере одно простое число. Л. Эйлер более двухсот лет назад сформулировал гипотезу, называемую проблемой Эйлера: «Доказать, что каждое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел*. Проблема Эйлера не решена до настоящего времени. Более двухсот лет назад член Петербургской академии наук X. Гольдбах (1690—1764) сформулировал гипотезу — проблему Гольдбаха: «Доказать, что каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел*. В 1937 году выдающийся русский математик академик И. М. Виноградов (1891—1983) доказал, что проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших чисел. Но в общем виде эта задача не решена до сих пор. Нсслсдусн %П а) Почему после «просеивания» чисел, кратных 2, 3, 5, 7, в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа? б) На каком числе следует остановить «просеивание», если в таблице будет 150; 10 000 первых натуральных чисел? в) Используя «решето» Эратосфена, получите все простые чис-. ла в промежутке от 1 до 200. а) Петя придумал новую формулу для нахождения простых чисел: Р = л^+п+ 41. Для любых ли натуральных п число Р простое? б) Сколько различных простых чисел можно получить по формуле P = n^+n + Л^, если брать последовательные натуральные числа, начиная с л=1? 159 Глпп.) 3. гТП Если в одной руке кто-нибудь спрячет пятирублёвую, а в другой — двухрублёвую монету, то я могу легко определить, в какой руке спрятана двухрублёвая монета. Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2, в левой — на 3 и результаты сложить, а мне сообщить лишь, является сумма чётной или нет. Если сумма чётная, то двухрублёвая монета в левой руке, если нечётная, то в правой. Разгадайте секрет фокуса. Отметим, что; 1) для данного фокуса подойдут и другие монеты: рублёвая и двухрублёвая, пятирублёвая и десятирублёвая, но не подойдут рублёвая и пятирублёвая монеты; 2) умножать можно на 2 и 5, на 4 и 5, на 6 и 9, но нельзя на 3 и 5. Научитесь выполнять этот фокус. 717Ж Найдите все числа вида ZaAb, кратные 36. л Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трёхзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр. Тогда я могу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус. Вася увидел в тетради старшего брата странную, как ему показалось, запись: 5!. — Что это за восклицательный знак? — спросил он. — Это не восклицательный знак. Запись 5! читается «5 факториал» и означает произведение натуральных чисел от 1 до 5. А для любого натурального числа п (л> 1) запись л! читается «эн факториал» и означает произведение натуральных чисел от 1 до п: л! = 1 • 2 • 3 •. • л. Считается, что 1!=1. Вычислите 2!, 3!, 4!, 5!, 7!. ДакязывЯЕм Докажите, что: а) 99 • 99! + 99! = 100!; б) 1000! — 999! = 999 • 999!. 160 . Дипил#-:х:!1> иатуралЫ1ЫХ чисол гТП Нарисуйте по правилам, приведённым в задаче 723, фигуру, изображённую на рисунке 152. Нарисуйте по тем же правилам (см. задачу 723) фигуру, изображённую на рисунке 153. г7П Придумайте свои фигуры, которые можно нарисовать., не отрывая карандаша от бумаги, не проводя по линии дважды и без самопересечений. Головоломка. Имеется 3 штырька, на один из которых насажены 3 кольца (рис. 154). За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк, если за один ход разрешается переносить только одно кольцо; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее. Решите задачу; а) для четырёх колец; б) для пяти колец. Рис. 152 Рис. 153 О Рис. 154 162 ;с»11мость натуралы»1х чисел При изучении главы 4 вам предстоит освоить обыкновенные дроби. Вы научитесь их сравнивать, выполнять с ними четыре арифметических действия, применять законы сложения и умножения для упрощения вычислений. Эти умения будут использоваться не только в 5—6 классах, но и при изучении алгебры, физики и других школьных предметов в старших классах. В главе 4 вам встретятся задачи «на дроби» и «на совместную работу», среди которых есть интересные старинные задачи. Понятие дроби Если отрезок длиной 1 см разделить на две равные части, то каждая из них будет иметь длину, равную половине сантиметра. 1 Это згшисывают так: — см. 2 Если 1 кг сахара рассыпать поровну в четыре пакета, то каждый из них будет иметь вес, равный четверти килограмма. Это 1 записывают так: — кг. 4 Напомним, что в повседневной жизни слово «масса* заменяют словом «вес*. Если буханку хлеба весом 1 кг разрезать на три равные по весу части — каждая по трети килограмма (iH’ то две такие части будут иметь вес, равный двум третьим килограмма. Это за-2 писывают так: — кг. Если же буханку разре.зать на 4 равные части, то 3 такие части будут весить три четверти килограмма. Это за- 3 писывают так: — кг. 4 Если на отрезке АН ровно три раза укладывается отрезок длиной 4 дм, то длина отрезка Л/i равна трём четвёртым дециметра: 4 3 -дм. 4 Записи —, —, —, —, —, . называют обыкновенными дробями 2 3 4 3 4 ИЛИ, короче, дробями. Дробь означает половину, или одну вторую часть единицы (миллиметра, килограмма, часа и т. п.). Дробь 4 означает одну тре- 3 тью часть единицы. Дробь означает две третьих части единицы. Такой же смысл имеют дроби — — пять шестых, ———-семь ^6 11 5 одиннадцатых,—-пять четвертых и т. д. 4 Если д — натуральное число, то дробь — (читается «одна ку- Ч тая*) означает одну кутую часть единицы. Если р и д — натуральные числа, то дробь — (читается «пэ ку- 4 тых*) означает пэ кутых части единицы. Например, если 1 км разделить на д равных частей, то каждая часть будет иметь длину — км, а р таких частей будут иметь Ч длину — км. Ч Число, которое можно записать в виде где р vi д — натуральные числа, называют рациональным числом. Для упрощения речи вместо слов «рациональное число — * го- Ч ворят «дробь — *. 164 Число р, находящееся над чертой дроби, называют числителем дроби число q, находящееся под чертой, называют знаменателем дроби —. я Дробь с числителем р и знаменателем 1 есть другая форма записи натурального числа р: f = p. Например, у = 5; = 1; y = 1- 1пз а) Сколько граммов в половине килограмма? б) Сколько часов в одной трети суток? в) Сколько килограммов в четверти тонны? г) Сколько метров в одной восьмой километра? д) Сколько минут в четверти часа? а) Сколько миллиметров в j сантиметра? б) Сколько минут в часа? в) Сколько сантиметров в метра? 4 г) Сколько граммов в 4 килограмма? 5 а) Какую часть часа составляет одна минута? б) Какую часть сантиметра составляет один миллиметр? в) Какую часть гектара составляет один ар? г) Какую часть градуса составляет одна минута? д) Какую часть 1 см^ составляет 1 мм^? е) Какую часть 1 м^ составляет 1 дм^? а) Купили 100 м лески. Половину всей лески намотали на катушки. Сколько метров лески осталось? б) От мотка телефонного провода длиной 36 м отмотали его четвёртую часть. Сколько метров провода осталось в мотке? Сколько сантиметров в; а) ^м; б) 1м: 165 1. О FTTl На рисунке 155 изображены часы. а) Какая часть окружности заключена между часовой и минутной стрелками, считая от минутной стрелки к часовой по их ходу, в 6 ч 00 мин; в 3 ч 00 мин? б) Какую часть окружности пройдёт конец минутной стрелки: за 30 мин; за 15 мин; за 20 мин; за 45 мин; за 40 мин? в) Какую часть часа составляет: 10 мин; 5 мин; 25 мин; 55 мин? ri-IM Перечертите в тетрадь квадрат 4×4 клетки (рис. 156). Закрасьте: а) квадрата; 1 X 1 б) J квадрата; в) квадрата. На рисунке 157 отрезок АВ разделён на 6 равных частей. Какую часть отрезка л В составляет отрезок Л/;? Постройте отрезок длиной 6 см. Отметь-12 3 4 5 6 6- 6- 6- 6- 6- 6 Постройте отрезок ЛВ = всьл. Постройте отрезок CD, равный: ri-TJ ri-IH а) 1лд; б) ^АВ] в) |ЛЛ. Рис. 156 Постройте отрезок АВ=]5см. Отметьте на этом отрезке точки С, D, М так, чтобы АС = ^АВ, AD = ^AB, AM = ^АВ. 3 5 3 а) Какую часть от 12 см составляет: 6 см; 3 см; 4 см; 1 см? б) Какую часть от 42 см составляет: 6 см; 7 см; 14 см? Отрез ткани длиной 15 м разрезали на 5 равных частей. Запишите в виде дроби, какую часть отреза составляет: одна такая часть; две части; три части; четыре части; пять частей. Запишите длины получаемых при этом частей отреза. А D В б) Л D в в) “4 D ^ В г) ^ D в Рис. 157 166 ц. FTTP a) Потратили от 400 p. Сколько рублей потратили? б) Длина верёвки 27 м. Отрезали её длины. Сколько метров верёвки отрезали? о в) От каната длиной 100 м отрезали — его длины. Сколько мет- 4 ров каната отрезали? Сколько метров осталось? Fryi Сколько граммов содержат: а) кг: б) —— кг: в) 4 кг: г) 1 кг? 10 100 4 5 Чему равна: а) у от 50: б) у от 45: в) 4 от 120: 4 г) ^ от 10: д) ^ от 80: е) от 90? 30 Вычислите: а) 1 от 12: б) 4 от 45: 5 в) у от 140: г) 1 от 96: О д) от 176: е) 1 от 6. Из пакета с картофелем, вес которого 3 кг, отсыпали 1 кг. Какая часть картофеля осталась в пакете? Длина автобусного маршрута 24 км. Определите длину оставшейся части маршрута, если расстояние от начала маршрута до первой остановки составляет; 15 3 а) — маршрута: б) — маршрута: в) — маршрута. а) Работу выполнили за 4 ч. Какую часть работы выполняли за каждый час? б) Бассейн наполняется за 5ч. Какая часть бассейна наполняется за каждый час? в) Пешеход прошёл некоторое расстояние за 6 ч. Какую часть этого расстояния он проходил за каждый час? а) Путник проходит в час 4 пути. За сколько часов он прой- О дёт весь путь? б) За каждый час труба наполняет ^ бассейна. За сколько ча- ь сов она наполнит весь бассейн? в) В каждый день выполняется у некоторого задания. За сколько дней будет выполнено всё задание? 167 г л 4. о ‘?нз ini Ъп ■?za а) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через Зч. На какую часть первоначального расстояния они сближались каждый час? б) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу. Они проходят каждый час j всего пути. Через сколько часов они встретятся? а) Поезд проходит некоторое расстояние за 8 ч. Какую часть этого расстояния он пройдёт за 1 ч? за 2 ч? за 3 ч? за 8 ч? б) Из семи дней недели было три солнечных дня. Какую часть недели составляет один день? Какую часть недели составляют солнечные дни? в) В магазин привезли 200 лампочек: 5 из них оказались неисправными. Какую часть от числа всех лампочек составляют неисправные лампочки? г) В букете было 4 розовых цветка и 3 белых. Какую часть всех цветов составляют белые цветы? Прочитайте дроби: -I; -|: -Ц: —. к мк 2’ 5 7 3 17 30 3 2 q а) Какое число называют рациональным числом? б) Как ещё называют рациональное число? в) Является ли натуральное число рациональным числом? Запишите пять каких-либо обыкновенных дробей. Прочитайте их, назовите числители и знаменатели. Назовите три дроби; а) с числителем 3; б) со знаменателем 10. Запишите две дроби, у которых: а) числитель на 2 больше знаменателя: б) знаменатель на 4 больше числителя. . Э ♦ Равенство дробей 4 Рис. 158 Для любой дрюби можно указать ряд равных ей дробей. Например: 1=1=1=1= 2 4 6 8 ■ Это можно объяснить так: если отрезок разделить пополам, а каждую половину ещё пополам, то половина отрезка будет состоять из двух четвертей этого отрезка (рис. 158), т.е. -^ = 168 Так же можно показать, что половина равна трём шестым и т. д. Можно ещё сказать, что дроби — и — определяют одно и то же 2 4 2 8 число, записанное разными способами; д1Х)би — и — также опре- о 1 ^ дел я ют одно и то же число. Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь: Р‘П q-n (1) Это свойство называют основным свойством дроби. С его помощью можно получать дроби, равные данной. Например: ^ „. 2 2 4 8 50’ ‘2 3-4 12’ l)i = ^ ^ 5 5-10 = l = = ^ 1 1-3 3 Равенство (1) можно записать и в обратном порядке: 41 6 = — = = — ^ 1 1-2 2 ‘ ри _ £ qn q (2) Левая часть равенства (2) есть дробь, числитель и знаменатель которой имеют общий множитель п. Говорят, что можно сократить дрюбь на л и получить равную ей дробь Поэтому основное qn q свойство дроби можно сформулировать и так: Екгли числитель и знаменатель дроби имеют общий множн* тель, то дробь можно сократить на этот множитель, т. е. разделить на него и числитель, и знаменатель. Получится равная ей дробь. .1 У- 3 ^■4 1 6 8 15 16 8’ 6’ 3 ’ 16’ 1 8 _ 6

Х4 ^•3 _ 4 3 169 г. о 1 15 Л-5 5 ‘л 1 . 1б] МТ-1 1 3 Л 1 1 1 16 МГ-1 1 / 1 1 Дробь называют несократимой, если её числитель и знаменатель не имеют общих простых делителей. Например, дроби , 2 4 5 11 ——несократимые дроби, так как числа 1 и 2, 3 и 4, 5 и 7, I О II и 8 не имеют общих простых делителей, т. е. являются взаимно простыми числами. Дроби — сократимые. 8 6 3 16 Для каждой дроби существует едипствеппая равная ей несократимая дробь. Например: А = 1 li = l 11 = 1 1 = 1 12 .3’ 1.5 .5’ 14 2’ .5 .5* Левые части равенств — данные дроби, а правые — равные им несократимые дроби. Чтобы получить несократимую дробь, надо сократить данную дробь па наибольший общий делитель её числителя и знаменателя. 192 Например, сократим дробь 2.56 1 Так как НОД (192, 256) = 64, то ^ = 2.56 4 • 64 1 ^lacTO наибольший общий делитель числителя и знаменателя сразу указать трудно. В этом слу»1ае сокращение дроби выполняют пос1Ч)пеипо. Например: 192 _ 2 96 _ 2.48 _ _ 2_^ _ 3 256

812 “ 96 12 128 96 Однако общим знаменателем этих дробей может быть любое из чисел, делящихся на 8 и на 12: 24, 48, 96, 120, — Наименьшим среди этих чисел является число 24. Примем 24 за общий знаменатель дробей — и —. ^ 8 12 177 г ;лпл Так как 24 = 8*3 и 24=12*2, то Щ _ _3^ _ _9^. _ 5-2 _ _10 8 8*3 24’ 12 12*2 24* Любые две дроби можно привести к общему знаменателю, которым может быть произведение их знаменателей. Но для упрощения вычислений нужно стараться привести дроби к наименьшему общему знаменателю. 5 7 Пример 2. Приведём дроби — и — к наименьшему общему 36 .’>4 знаменателю. Так как НОК(36, 54) =108, то наименьший общий знаменатель равен 108, поэтому _ .5 • 3 _ _1^, 36

108’ 7-2 64 64.2 14 108 ‘ 3 1 Пример 3. Приведём дроби — и — к наименьшему общему зна- 4 8 менателю. Так как ИОК(4, 8) = 8, то к знаменателю 8 надо привести толь- 2/з 6 ко первую дробь: *- = —. 4 8 ?7Т1 а) Любые ли две дроби можно привести к общему знаменателю? б) К какому общему знаменателю лучше всего приводить две дроби? а) Сколько четвёртых содержится в -^7 б) Сколько двадцатых содержится в ^? в) Сколько тридцатых содержится в -|? гГП Для дроби — запишите равную ей дробь со знаменателем: а) 30; б) 12: в) 24; г) 102. гГТ1 Замените следующие дроби равными им дробями со знаменателем 12: а) д) |: е,|. 1 о с *7 гГГЯ Дроби 2‘ ’4’ g’ ^ знаменателю 24. 178 112 5 F77^ Дроби — приведите к знаменателю 36. м Приведите дроби к общему знаменателю, равному произведению знаменателей дробей: а) и 2 3 6, 1и1: г) 4 и I; 2 9 Д.Н: е)1и|: ж) 1 и З.Н; к)|и|: 1? ” 77′ “’Ж’^ТТ’ «> Ж ■’ Ж’ Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: а)1и1; *> 7Ж ” Ж’ Приведите дроби к общему знаменателю (800, 801). ж ” 7Ж^ Жо ” 40′ «> W » Ж’ 40 ” Ж’ HTTP 75 ” Т2’ 7б ” 72′ ж ” 77′ *> Ж ” Ж’ 7Ж ” Ж’ “’Ж”Ж’ Р) -55 и i3. 98 72 пт Приведите дробь к знаменателю 10, или 100, или 1000. а) I; б) в) г) д) —; е) —: ж) з) -. с/ 2- 4- 0- 5′ 25’ 125 4 5 179 ;лв1 4. О rm Определите, равны ли дроби. Результат запишите с помощью знаков = и а)| и так как 1 = 3 3-5 15 . 14 ^ 15 2 ^ 3 — =——= — И — Ф —, то — ^ —. 7 7 5 35 35 35’ 5 7 6) иЯ-20 24’ в)^ ‘ 35 «41; 28’ д) Я и^- 22 33’ е) 30 36. 48 56’ ж)^ 84 108 и) ^9иМ. 63 85 4.5♦ Сравнение дробей На рисунке 160 изображён отрезок АВ, разделённый на 7 равных частей. 4 А D В н—1 Рис. 160 Екхни принять длину отрезка АВ за 1, то отрезок АС имеет длину —, а отрезок AI) имеет длину у. Длина отрезка AD больше длины отрезка АС, т. е. Д1юбь у больше дроби у. Пишут: у > у. Из двух дробей с общим знаменателем больше та дтробь, у которой числитель больше, т. е. если р>г, то . Я Я „ 2 1 6 4 13 12 Например: — > —, — > —, — > —. 3 3 7 7 11 И 180 ‘1.ЧВЗ Оонкиовенмые jipoOvt Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, их нуж> но привести к общему знаменателю, а затем применить пра* вило сравнения дробей с общим знаменателем. Например, сравним дроби: -I и 8 14 Наименьший общий знаменатель этих дробей равен 56. т, 3-7 21 4/ 5-4 56 56’ 14 14-4 „ „„ 21 20 3 5 Так как 21 > 20, то — > —, т. е. — > —. 56 56 8 14 При сравнении дробей полезно следующее утверждение: Если первая дробь меньше второй, а вторая дробь меньше третьей, то первая дробь меньше третьей. Доказательство. Пусть даны три дроби: р г S П П П Так как первая дробь меньше второй, то р — = 1. ^ 5 5 3 3 Отсюда следует, что любая правильная Д1юбь меньше неправильной. 181 о а) Как сравнивают дроби с общим знаменатолом? б) Как сравнивают дроби с разными знаменателями? а) Какую дробь называют правильной? б) Какую дробь называют неправильной? Сравните: а) правильную дробь с 1; б) неправильную дробь с 1; в) правильную дробь с неправильной. 3 113 С помощью рисунка 161 объясните, почему j «2 «4 ■ Рис. 161 Гт Постройте отрезок АВ=\2см. Отметьте на А В точку С так, чтобы: а) АС = ^АВ: б) ас = ^ав. 4 Ь Сравните длины отрезков АВ \л АС, ВС и АС, ВС и АВ. !т Сравните дроби и результат сравнения запишите с помощью знака > или 2П=4′ ®>2*3 = 6- !ТП Сделав рисунок, покажите, что ^ дм + ^ дм = -^ дм. Рис. 164 186 rm Сложите дроби; т4’ Вычислите (833—836). 1 7 . б) 21 1 3 9 . ^ 5 ^ 10’ 10 ^ 100’ 100 ■»То’ 15 3. е) 7 16. ж) -1 + 1-12^6’ 24 8’ 6^ 18’ 2 5. з’^б’ 1 3 2 10′ [ ?-1-я э) + •^; 36 9 ^ 24 8 ’ б) 2 3 . 5 20’ 5 . 12’ г\ 11 0. G) 8 32’ *>ж 9 50 Тб’^Ш 1 1. 6 9’ 2 5. 9 6’ п\ 2 3. 9*8’ 2 6 . 9 4 . п*к.’ 10 15’ 3 5. 4 18’ 4 5 . 7 8 . 450 180 .И 9 7 ‘ 180 120 210 140’ 14 9 . 1 3 7 . 5 10 20’ 3 7 в) -г— 4* 4* 20 30 4 7 28’ 17 23 11. 20 30 50’ 7 11 40′» то»* 20 30 60’ 40’ 11 30’ ГТТ^ Запишите дробь в виде суммы двух дробей; а) |: б) в) I: г) ^ 9’ ‘ 7’ ‘ 10’ [■>1=1 Подберите дробь, которая в сумме с данной дробью даёт 1; ^4: б,|: д) 4Г е)^ е; 27• Гт Сложите дроби, предварительно сократив их; A:=lll lli = l 1 = 1- ‘ 15 25 5-3 ■^5-5 5 5 5’ 10 3 . 30 8 . . 60 75 . . 24 16 ‘ 16 24’ ’45 36 ‘ 120 150’ 360 480 187 L. О ‘ ‘ * — ■ i,, 2 1 !m Девочка прочитала — книги, потом ещё -. Какую часть книги она прочитала? 3 5 ; а) За завтраком съели — торта, за обедом съели — торта. 8 8 Весь ли торт съели? б) За первый день машинистка перепечатала ^ рукописи, 16 а за второй день—^ рукописи. Закончила ли она перепечатку рукописи? 2 •ТТЯ Первый тракторист вспахал j поля, 3 второй — — ПОЛЯ. Вместе они вспахали Юга. Какова площадь всего поля? ГТГЯ а) За каждый час первая труба наполняет бассейна, а вторая — -I бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы? б) Первая бригада может выполнить за день задания, а вторая — задания. Какую часть задания выполнят две бригады за 1 день совместной работы? в) Легковая машина в час проезжает ^ расстояния между городами, а грузовая —этого расстояния. На какую часть этого расстояния в час будут сближаться машины при движении навстречу друг другу? _________Законы сложения Для дробей, как и для натуральных чисел, выполняются переместительный и сочетательный законы сложения: От перестановки слагаемых сумма не меняется: 188 Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего: \q sj п q Vs n) Пример 1. Покажем, что — + — = — + 7 7 7 7 Так как переместительный закон сложения верен для натуральных чисел, то 1 + 1 = 7 7 2+4 4+2 4 2 7 7’ (1 3 ^ 2 1 Лз 2 ^ — + -1 + — = — + 1 — + -!• ш сочетательный зако! (1 з») 2 1 ч 3 2 [ 5 ^ 5 J 5 “ Г> 5 Так как сочетательный закон сложения верен для натуральных чисел, то (I + 3)-»2 I + (3 + 2) 1 3+2 Из законов сложения следует, что сумму нескольких дробей можно записывать без скобок; любые слагаемые в ней можно менять местами и заключать в скобки. Этим часто пользуются для упрощения выражений. Например: 1 1 — = <- ll+ 1 = 1 + 1 = 1:1 + lli = 11 + 11 = И Ъгщ Запишите и сформулируйте переместительный закон сложения: сочетательный закон сложения. Выполняется ли для дробей переместительный закон сложения; сочетательный закон сложения? Можно ли в сумме чисел менять местами слагаемые, заключать слагаемые в скобки? ГТУ^ На рисунке 165 изображён отрезок Л В, разделённый на четыре равные части. Л/?=12см. а) Найдите длины отрезков АС и СВ. 13 3 1 б) С помощью рисунка покажите, что т + т = т + т- 4 4 4 4 Рис. 165 А ь- 189 i. О---.- Вычислите, используя законы сложения (848—854). а) 13 + (15+12): 6)21+7 + 23; в) 19 + (37+11); г) 37+14 + 26; д) 2 + 7 + 8 + 3; е)9 + 7 + 3+1; ж) 15 т8 I 2 f 5; з) 13 t 14т7 t 6. б) 25 + 97 + 75; г) 631 +783 + 369; е) 1594 » 920 I 3080. ?тгя 33 а) 34 + 87 + 66; в) 371 + 483 + 629; д) 4344 I 1256 » 744; а) л + -^ + 17. б) 19 .L 18 Л. 12. в) 25 X 17 X 15. 48 48 48’ 55 *г 55 X 55’ 64 Т 64 Т 64’ г) 23 38 7 . Д) 28 52 19. е) 17 11 23. бэ"' 69 69’ 43 + 43 4* 43’ 45 4“ 45 4" 45’ ж) i 2 7 . 3) 13 15 17. и) 16 8 4 45 ^ 45 45’ 44 4* 44 4- 44’ 77 4- 77 4- 77' ГТТИ , 17 28 15 + 2 + 28 а) — + — =------------ 30 30 30 6) ГГП1 ГТ?1 г) 29 37. 40 40’ ^ 58 45. . 257 199. ■^61’ ' 300 300’ V 379 127 401 40Г 61 1 8 7 . «si 2 3. 7 ^ 21 7’ oS 1 2 7 . ^ 15 45 ^ 15’ 5 25 ^ 25 ’ 3 5 4. 10 15 30’ 1 1 1 ^ 12 18 12’ 49 ^ 7 49 ’ «+-Ц-5) 80 i 16 80 У J_ + fA + lV 15 4l5 5j' 1 5 1. 2 5 1 . 9 6 18’ oS 2 1 3 . ^ 15 5 10’ 27 9 3’ 3 5 1 . 1 3 5. 4 8 16’ 5 3 1 ^ 7 14 2Г 8 12 24’ Используя сочетательный закон сложения для натуральных чисел, проверьте равенство: ; Запишите переместительный закон сложения для чисел: а,М; и п в>6 » 5^ В).^И А. П П 190 ГГЯ Запишите сочетательный закон сложения для чисел: а) у, у, у. Гт Вычислите: и и с, 6) 5 5 5 ^ т п k в) —, —, —. Р Р Р „ч 12 15 3 5. б) Д -L _i_ _L- ‘ 12 10 100 ^ 12’ .3 5 4 4 г) _ + _ + _ + у. а) Два пешехода вышли в одно время навстречу друг другу из двух деревень. Первый может пройти расстояние между двумя деревнями за 8 ч, а второй — за 6 ч. На какую часть расстояния они приблизятся за 1 ч? б) Для постройки купальни наняты три плотника. Первый сде- 2 17 лал в день — всей работы, второй——, третий — —. Какую 3S 11 55 часть всей работы сделали все они за день? в) Для переписки сочинения наняты 4 писца. Первый мог бы один переписать сочинение за 24 дня, второй — за 36 дней, третий —за 20 дней, и четвёртый —за 18 дней. Какую часть сочинения перепишут они за один день, если будут работать вместе? Отпили полчашки чёрного кофе и долили её молоком. Потом отпили у чашки и долили её молоком. Потом отпили чашки и долили её ь молоком. Наконец допили содержимое чашки до конца. Чего выпили больше: кофе или молока? 4»В. Вычитание дробей Разностью двух дробей называют дробь, которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое. „ 3 12 2 13 Например,——= —, так как —к — = —. •5 5 .5 5 Гу Гу Будем пока рассматривать случай, когда уменьшаемое больше вычитаемого. 191 Г,;.’1ПЛ 4. . Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого: 7 ‘-1 193 f пл,) 1. O’-. ■ rm Найдите число х, для которого верно равенство; 1 . — 5 . ®> 3 + ^-i2’ 2. 6’ птж : f^rЩ г) X — 3 _ 4 . 7 “ 21’ Д) 4 5 X = • Вычислите (871 , 872). а) 8 8 . б) 7 5 . 18 27’ 16 ■ ■ 24’ г\ 12 15. Л \ 9 11. г; 13 26’ Д/ 28 ■ ■ 35’ д \ 25 18. 40 35. а/ 28 35’ и/ 63 ‘ ‘ 72’ В) х-^-1-^ 20 “ 5’ е) |-л: = 4- 8 3 39 19 40-й В) 22-11; 21 22 Г) 40 143 41 . 156’ Д) 43 126 41 . 135’ е) 239 240 229 288’ Г7П Придумайте две дроби, разность которых равна: г,|; д)|: е,|. ; пй : yj-il ^7Г1 ■ У#/ Тракторист должен вспахать -f по- 5 3 ля. До обеда он вспахал — поля. Какую часть поля ему осталось вспахать? Из двух сёл навстречу друг другу вышли два туриста. Через 1 некоторое время они прошли — всего пути, причем первый прошёл всего пути. Какую часть пути прошёл за это время второй турист? Два тракториста скосили -| луга, причём первый тракторист 2 скосил — луга. Какую часть луга скосил второй тракторист? а) Взрослый человек спит примерно суток. Какую часть суток он бодрствует? 1 3 б) Туристы прошли у, потом ещё у всего маршрута. Какую часть маршрута им осталось пройти? 194 iJi и.. Рис. 166 [=/2=я а) На ветке сидели воробьи. Когда третья часть воробьёв улетела, их осталось 6 (рис. 166). Сколько воробьёв было на ветке? 3 б) Некто израсходовал — своих денег, и у него осталось 20 р. Сколько денег у него было? 2 в) в первый день туристы прошли — намеченного маршрута, 5 а во второй день оставшиеся 15 км. Какова длина маршрута? г) Сейчас у Васи в коллекции 200 марок. Известно, что за последний год число марок в коллекции увеличилось на -j. Сколько марок было в коллекции год назад? Г7П а) За куски ленты длиной -^м и ^м заплатили 18р. Сколько стоит 1 м ленты? б) За м тесьмы заплатили на 6 р. больше, чем за м такой 2 5 же тесьмы. Сколько стоит 1 м тесьмы? 2 3 Гт До обеда токарь выполнил — задания, после обеда — — за- О в Дания, после чего ему осталось обточить 24 детали. Сколько деталей он должен был обточить? Г=!ТР а) Два тракториста за 1 день совместной работы вспахали 2 1 — ПОЛЯ. Первый тракторист вспахал — поля. Какую часть поля вспахал второй тракторист? б) Две машины, движущиеся навстречу друг другу, приблизились за 1 ч на ^ расстояния между двумя городами. Первая машина проехала этого расстояния. Какую часть всего расстояния проехала вторая машина? в) Через две трубы за каждый час наполняется ^ бассейна. Через первую трубу за час наполняется -j^ бассейна. Какая часть бассейна наполняется за 1 ч через вторую трубу? 195 ‘.nBj 4. о Машинистка перепечатала третью часть рукописи, потом ещё 10 страниц. В результате она перепечатала половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи? Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идёшь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если ещё пройдёшь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько вёрст осталось ещё идти первому прохожему? Из книги «Косс» Адама Ризе (XVI в.). Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлась -j- этой суммы, на долю второго —у. а на долю третьего — 17 флоринов. Как велик весь выигрыш? Умножение дробей Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен пронзведспню числителей, а зпамепатель — произведению знаменателей этих дробей. P..L = Р» (/ S q-s „ 2 5 2-5 10 Например: — • — = —т = тгг-*^,3 7 2-7 21 Так как любое натуральное число п можно представить в виде дроби у, то справедливо равенство: п-р _ р п р п-р Доказательство: П’— = — — = — Ч 1 ч ч 196 iiiJi и.. Таким образом. чтобы умножить натуральное число на дробь, можно числитель дроби умножить на ото натуральное число, а знаменатель оставить тот же. ,, „23-26 Можно считать, что П1юизведепие натурального числа п (я>1) па дробь — есть сумма п слагаемых, каждое из которых равно ж)|.6; 3) ^-15. 20 Запишите произведение в виде суммы: kl’Ii я а) 3.1; б) 5.|; В) — • 4; ‘ 10 ’ г) 1.6. Запишите сумму в виде произведения: а) 1 1 1. — + — + —, 2 2 2 7 7 7 7. б) тт + тг + тт + тг 3 3 3 3 1 . 1 1 1.1. 3 3 3 3 3 .2 2 2 2 2 2 5’^5’*’5′»5’^5′»5- ь1’>Я гт гт Упростите числовое выражение: .1.(1.i) »,2:(1.1.1,1). «(rrti-5′ «(Н-Н)¥- Укажите числа, обратные данным: в) 2; 3; 4; 1. а) 1; 1; 1; 2 3′ 5′ 3′ й, 5, 6. 3. 8. ®> 6′ ?• Т’ Т’ 2 63 Являются ли числа ^ и ^ взаимно обратными? Ответ обо-/ 10 снуйте. а) Вычислите произведение ^ и числа, обратного числу 3. б) Вычислите произведение 7 и числа, обратного числу 199 i. О Ttm rm rm rTFl Могут ли взаимно обратные числа быть одновременно; а) правильными дробями; б) неправильными дробями; в) натуральными числами? Могут ли взаимно обратные числа быть одновременно: а) меньше 1; б) больше 1; в) равны 1? Какое число обратно самому себе? а) Число 2 умножили на некоторую правильную дробь. Какое число получится: большее или меньшее 2? б) Может ли при умножении числа 3 на некоторую правильную дробь получиться число, меньшее 1? Если да, то приведите два примера. в) Может ли при умножении числа 4 на некоторую правильную дробь получиться число, большее 1? Если да, то приведите два примера. г) Верно ли, что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число, меньшее этого натурального числа? Если да, то приведите два примера. 5 В равностороннем треугольнике длина стороны равна — м. Найдите периметр треугольника. Вычислите периметр квадрата, сторона которого равна: а) 4 м; 4 Вычислите: б) — дм; 4 в)^м; r)f дм. r’l кд гтп За минуту наполняется бассейна. Какая часть бассейна наполнится за: 2 мин; 4 мин; 10 мин; 20 мин? За сколько минут наполнится весь бассейн? За минуту через первую трубу наполняется бассейна, а через вторую трубу —бассейна. а) Какую часть бассейна наполнят обе трубы за 1 мин? б) Какую часть бассейна наполнят обе трубы за 6 мин? в) Наполнится ли бассейн через обе трубы за 8 мин? 200 Законы умножения. Распределительный закон Для дробей, как и для натуральных чисел, выполняются пер>е-местительный и сочетательный законы умножения: От перестановки множителей произведение не меняется: £. L я q‘ Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел: [р rj пг _ р Гг m I W л .*> А 1 on 20 1 24 „ Аналогично — от 20 есть —, — от 24 есть — = 6. 3 3 4 4 Найдём теперь от 17. Это число в 4 раза больше, чем ^ от 17: 5 5 4 .17 4-17 4 — от 17 есть 4—=——= — 17. .5 1 ^ = 1.40. 7-1 7 Аналогично — от 40 есть 2 • — 7 7 Чтобы найти у числа, можно у умножить на это число. Пусть теперь надо найти число, — которого равны 60. Из ска- 5 занного выше следует, что число 60 можно получить умножением дроби — на неизвестное число. Тогда это неизвестное ‘шсло можно .5 2 2 найти, разделив 60 на —. Итак, число, — которого равны 60, есть 5 .5 число 60 : — = = 150. Аналогично «шсло, — которого равны 30, есть число 30 : = 70. 7 3 ’?П1 Найдите: а) у от 11; ITF1 Найдите число: 1 б) у от 20; в) I от 7; г) J от 28. а) — которого равна 5; б) у которого равны 21. 208 а) от 45 м или ^ от 30 м; 5 5 Гт Что больше: 2 3 3 2 6) — от — м или — от — м? 3 5 5 3 а) Уменьшите 900 р. на этой суммы. 2 б) Увеличьте 150 р. на — этой суммы. 5 Число 200 увеличили на этого числа, полученный результат уменьшили на его Получилось ли снова число 200? Проверьте. 2 ^•1а) Найдите число, которого равны 60. о б) Найдите число, — которого равны 99. 2 ГТУ^ а) За 4 дня похода израсходовали — всех запасённых продук- 5 тов. На сколько дней было запасено продуктов? б) На стоянке автомашин было 15 «Жигулей». Они составля- 3 ли — всех автомашин. Сколько всего автомашин было на стоянке? 3 Гт а) Число уменьшили на — этого числа, получилось 210. Найдите число. б) Задумали число, увеличили его на у этого числа и получили 56. Какое число задумали? Гт Столб вкопали в землю на у его длины. Он возвышается над землёй на 2 м 30 см. Определите длину столба. 2 а) В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал —, 5 после обеда —у привезённых арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько арбузов привезли в магазин? б) Некто израсходовал половину своих денег и у остатка. После этого у него осталось 6 р. Сколько денег было у него первоначально? 209 L О nrw Из бочки вылили — находившейся V 1 в ней воды, потом — остатка, потом ^ нового остатка. Какую часть воды вылили? Задача Бхаскары (Индия, XII в.). Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву: Шиве — третья доля этого множества, Вишну — пятая и Солнцу — шестая; четвёртую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков? /ПЙ1 Капитан на вопрос «Сколько у него в команде людей?» ответ- 2 2 1 ствовал, что ^ его команды в карауле, у в работе, — в лаза- &1Я рете да ещё 27 человек налицо. Спрашивается число людей его команды. Задача Гврона Александрийского (1в.). Бассейн ёмкостью 12 кубических единиц получает воду через две трубы, из которых одна даёт в каждый час кубическую единицу, а другая в каждый час — четыре кубические единицы. В какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб? « — Задачи на совместную работу Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о совместном выполнении некоторой работы. При этом всё равно, какую работу выполняют и чем эту работу измеряют — числом деталей, количеством вспаханных гектаров пашни и т. п. Если, например, некоторая работа выполняется за 10 ч, то за 1 ч, очевидно, выполняется ^ всей работы, а вся работа составляет десять таких частей: — = 1. Поэтому обычно в таких задачах всю работу принято считать равной единице, объём выполненной работы выражают как часть этой единицы. Задача 1. Первая бригада может выполнить задание за 36ч, а вторая бригада может выполнить то же задание за 18 ч. За сколько часов это задание выполнят две бригады при совместной работе? 210 Решение. Примем всю работу за единицу, тогда за 1ч первая бригада выполняет 1:36 = —, а вторая — 1 :18 = — всей работы. При совместной работе за 1 ч две бригады выполняют J_ 36 18 _3_ 36 J_ 12 1 всей работы, поэтому всю работу они выполнят за 1 : -^ = 12 ч. Ответ: за 12 ч. Под совместной работой можно понимать и одновременную работу двух труб при наполнении бассейна, и прохождение некото-1ЮГО пути при движении навстречу друг другу и т. п. Метод решения остаётся тем же. Задача 2. Расстояние между двумя сёлами пешеход проходит за 60 мии, а велосипедист проезжает .за 20 мин. Через сколько минут они встретятся, если отправятся одновременно навстречу друг другу из этих сёл? Решение. Примем расстояние между сёлами за единицу. 1) 1 : 60 = -^ (расстояния) — проходит пешеход за 1 мин; 60 2) 1 : 20 = — (расстояния) — проезжает велосипедист за 1 мин; 3) 1 •V1 ^ 1 60 20

Тб — такую часть расстояния они проходят за 1 мин при движении навстречу друг другу; 4) 1 : — = 15 (мин) — время движения до встречи. Ответ: через 15 мин. Задача 3. За пять недель пират Ерёма Способен выпить бочку рома. А у пирата у Емели Ушло б на это две недели. За сколько дней прикончат ром Пираты, действуя вдвоём? Решение. Примем объем бочки за единицу и выразим время ♦ работы* каждого пирата в днях: пират Ерёма выпьет бочку рома за 5-7 = 35 дней, а пират Емеля выпьет эту бочку рома за 2 • 7 = 14 дней. 211 L О 1) 1:35 = — (бочки) — выпивает пират Ерёма за 1 день; 35 2) 1 :14 = (бочки) — выпивает пират Емеля за 1 день; 2/1 5/j 7 1 3) —+ — = — = — (бочки) — выпивают они при совмест- 35 14 70 10 ‘ ‘ ной «работе* за 1 день; 4) 1: — = 10 (дней) — за такое время пираты выпьют бочку рома. Ответ: за 10 дней. Задача 4. Старинная задача. Муж выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, за сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь. Решение. Примем объём кади за единицу. (кади) — выпивает (кади) — выпишгют муж за 1 день; 2)l:10 = -jL вместе муж и жена за 1 день; 7/i 5/ 1 о 1 15- й =15 = 55 выпивает жена за 1 день; 4) 1: -^ = 35 (дней) — время, за которое жена выпьет 35 кадь пития. Ответ: за 35 дней. Эту задачу в дгшние времена умели решать и без дробей. Рассмотрим такое решение. «За 140 дней человек выпьет 10 бочонков, а вместе с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков. Значит, за 140 дней жена выпьет 14-10 = 4 бочонка. Один бочонок она выпьет за 140; 4 = 35 дней*. Отметим, что многие задачи на совместную работу можно решить этим старинным способом, не пользуясь дробями. Гт а) Через первую трубу бассейн можно наполнить за Зч, через вторую —за 6 ч. Какую часть бассейна наполнит каждая труба за 1 ч? 212 птщ гггя гт б) За каждый час первая труба наполняет ^ бассейна, а вторая — бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы 6 за 1 ч? За сколько часов наполнится весь бассейн, если открыть обе трубы? в) Через первую трубу можно наполнить бак за 10 мин, через вторую —за 15 мин. За сколько минут можно наполнить бак через обе трубы? Путешественник идёт из одного города в другой 10 дней, а другой путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов? а) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 20 ч, а через вторую — за 30 ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе этих труб? б) Один ученик может убрать класс за 20 мин. а второй — за 30 мин. За сколько минут они могут убрать класс, работая вместе? в) Грузовая машина проезжает расстояние между двумя городами за 30 ч, а легковая — за 20 ч. Машины одновременно выехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся? На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям — на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит этого корма и уткам. и гусям вместе. Заготовленных материалов хватит для работы двух цехов в течение 10 дней или одного первого цеха — в течение 15 дней. На сколько дней хватило бы этих материалов для работы только второго цеха? Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле? Два печника сложили печь за 16 ч. Известно, что первый из них, работая один, сложил бы печь за 24 ч. За сколько часов второй печник, работая один, сложил бы ту же печь? 213 О ггз Из пунктов А \л В одновременно вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после своего выхода, а через 32 мин после встречи первый пришёл в В. Через сколько минут после своего выхода из В второй пришёл в л? Из пункта Л в пункт В выехала грузовая машина Одновременно с ней из пункта В в А выехала легковая машина. Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и ещё через 3 ч прибыла в пункт В. Сколько времени потратила легковая машина на путь из Л в Л? а) Лошадь съедает воз сена за месяц, коза —за два месяца, овца —за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена? б) Первый плотник может построить дом за год, второй — за два года, третий — за три года, четвёртый — за четыре года. За сколько лет они построят дом при совместной работе? ;

ri ^ , .. i V Каким натуральным числом можно заменить букву а в условии задачи, чтобы ответ выражался натуральным числом? Найдите несколько таких чисел. Первая бригада может выполнить задание за 40 ч, а вторая бригада может выполнить то же задание за ач. За сколько часов эти бригады выполнят задание при совместной работе? . Понятие смешанной дроби Напомним, что если числитель дроби делится на знаменатель (нацело), то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель. Например: — = 6:3 = 2. Любую неправильную дробь, числитель которой не делится нацело на знаменатель, можно прюдставить в виде суммы натурального числа и правильной дроби. „ 17 15 + 2 15 2 — 2 Например: — = —-— = Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо, без знака «+», и называют смешанной дробью. При атом натуральное число называют целой частью, а правильную дробь — дробной частью смешанной дроби. 214 Например, ^ ^ — смешанная дробь, у которой 3 — целая часть, — дробная часть. Смешанную дробь 3-^ читают так: «три целых и одна вторая». Чтобы записать неправильную дробь (числитель которой не делится нацело на .знаменатель) в виде смешанной дроби, надо её числитель разделить па знаменатель с остатком. При этом целая часть смешанной дроби будет равна неполному частному, а дробная часть — остатку, делённому на знаменатель. 17 2 Например, так как 17:3 = 5 (ост. 2), то — = 5—. 1Саждую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби. Для этого надо сложить её целую и дробную части по правилу сложения дробей. „ » 1 « 1 3 1 3 2 1 3 2 + 1 7 ^ ^ 2 212 1-2 2 2 2 Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби, знаменатель дробной части умножают на целую часть, прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель, а знаменатель оставляют тот же. Смешанные дроби можно сравнивать, не записывая их в виде неправильных дробей. Если целые части смешанных дробей равны, то больше та дробь, у которой дробная часть больше. Например, 3 -^ > 3 —. Если целые части смешанных дробей не равны, то больше та дробь, у которой целая часть больше. 6 1 Например, Зу zw Запишите сумму в виде смешанной дроби: Запишите числа 3, 5, 7 а) 3; б) 5; в) 7. а) 5 + ^: б) 13 +у: в) 2 +у: г)17 + |. Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) 5^: в) 12—’ В) г) 8-^. 39 Г7П Разделите с остатком числитель дроби на знаменатель и за- пишите результат в виде смешанной дроби: а)|; г.|: д)^: М/ g . ‘’-f к)^ К] g . Запишите неправильную дробь в виде смешанной дроби: а)|: д)|: ж) |; К) f; „1 90 П) 216 rm Упростите запись смешанной дроби: а) 3|; 6) ; ГУП Сравните числа: а) 1 и 1; ж) 2^ и li; к)11и21; 6) I и I; Д)3| И31; З)з|и41; л)4§ И31; г) 5 — ^39′ в.|и1; в)2|и2|: и) з| и 5|; м) 5|иЗ§. S 4 0 в гт Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби: а)1|: 6)ll; B)li; ДМ|: e)2l; ж)з1; 3)8l; и)2|; К) 9|: B)lA; M)1A; и)бА; п) 12| i Я Выделите целую часть дроби: r,f; д) 39. 9 ’ к) 257 25 ■ ^0» Сложение смешанных дробей Сложение смешанных дробей выполняют с помощью законов сложения. 1 2 Пример 1. Вычислить 2 — + 3 —. Те же вычисления записывают обычно короче, выполняя часть действий устно: 2 — + 3— = 5—. fi 5 Г) Чтобы сложить смешанные дроби, надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить. 217 i. О Заметим, что любое натурггльное »шсло имеет дробную часть, равную нулю, и любая правильная дробь имеет целую часть, равную нулю. Поэтому складывать правильные дроби и натуральные числа со смешанными дробями можно по этому же правилу. Пример 2. 1) 3 — + 5 = 8 8 о 2) 4| + | = 4|. 7 7 7 При сложении дробных частей двух смешанных дробей может получиться неправильная дробь. В этом случае вычисления можно записать так: Пример 3. l)3- + 2- = 5f- = 5fl- = 6-; 2)2- + 3- = 5 + — = 5-н1 7 7 7 6. Если дробные части слагаемых имеют разные знаменатели, то сначала Р1ужпо привести их к общему знаменателю, а потом выполнить сложение. 2/^ 3/f 2 .3 .6 Пример 4. 1) 2 — + 4 — = 2 — t 4 — = 6 —; ^ ^ ‘ Я 2 6 6 6’ •Vo 2/7 27 14 41 11 11 2) 6 — +1 — = 6-^ + 1-^ = 7 + — = 7 + 1-!-!- = 8 ‘ 10 1.*> 30 30 30 30 30 Как складывают смешанные дроби? Приведите примеры. im Запишите сумму в виде смешанной дроби; а) 5 + б) 4 + ^: в)3.|: г) 12 + 15 1Г Гт Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а)б|; 6) 7 в) 5 J6. 25’ Г) 1 20 Вычислите сумму: а) 9 + 5I; г) 13 + 21; ж) 12 + 23^: б) 3^ + 5: о Д) 3 + 28|; 3) 39+ 42 А 8) 8^ + 7; е) 481 + 13; О Запишите обыкновенную дробь в виде смешанной дроби: 6) 9; в) А; г) я) Я; в) Я. 8 13 2 15 3 218 ГГ7Ж Запишите сумму в виде смешанной дроби; а,2.| = 2.,| = з|; б) з + |: О в)4 + |: г)8 + |; О О «)7.f. Вычислите сумму (988—997). гтти 6)3-^.-^: 3) 3 + у: И) 4 4- |. а) 4 + 6) 3-1 т5|: 5 5 в) 7y + 3-|: г) 9| + 74: 8 8 с 13 . 1 . ^ 15 15’ а) з|+1^; б)4|.1§; в) Зу + 5^: г) 8| + 4Ь 9 9 е)бД4-4^1. ‘ 28 28 Я с 3 .3. а) 5- + 1-. б) Зу + 2|: В) 4| + 7|: 8 8 Г) д| + 11^: 9 9 д) 1Д + 2 —: 13 Q 17 е)4-.8-. 3 1 а)1б|.71; б)17|.9|: г) 14-1.28. ; e)14|.li ‘?тп a)2l + li; а)б1.з|: Д)4§.1|; e)2-i.lA; Ж)31.2§: и)8|.9|. а) 21.1; б) 3 —+ -: в) 5-^12 6* 5 3 . .X V 6 1 ■»То’ «’^35′» 5- 219 г -in.) 4. O’ ГГГР а)з|4: ^ 20 30′ о\ >1 13 2 . г\ С 1 1 • ^ ® 12 18’ е) 9 А + ‘ 24 36 а) 2 8 г) 10-L + 6-: 20 5 Д)1А.2|: 6) 1з1.4|; р)7— + 8—, ^ 20 5 ’ rm На отрезке Л В отметили точку С так. что (7Я = -^м, а ЛС на 1 м больше СВ. Найдите длину отрезка АВ. о Гт На отрезке ЛВ отметили точку С так, что СЛ = 7 —м. и СВ на м меньше ЛС. Найдите длину отрезка ЛВ. Даны три числа. Первое 4 второе на 5 больше, чем первое, 5 а третье на 3 больше второго. Какова сумма трёх чисел? 5 ^ ♦ J ^ • Вычитание смешанных дробей Рассмотрим примеры вычитания меньшего числа из большего. Если целая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и щюбной частей вычитаемого, то вычитание целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают. Пример 1. 4 — -1 — = 3-^. 5 .5 5 В правильности вычислений можно убедиться, выполнив сложение: 3l + l2=4i. 5 5 5 Если целые или дробные части уменьшаемого и вычитаемого окажутся равными, то вычитание выполняют так же, как и выше. 220 Пример 2. 1) Sj-lj = 7; 2)6-^-6-i = |. В правильности вычислений можно убедиться, выполнив сложение: 3 3 1)7-и| = 8|; 2)1 + 61 = 6^. ‘9 9 9 Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то в целой части уменьшаемого «занимают* единицу. Пример 3.4|-1|=(з-н1|)-(1ч-1]=(з + 1)-(и-1)=2|. С помоп^ью сложения можно убедиться, что полу^гился верный ответ. В том случае, когда одно из двух чисел является натуральным числом или правильной дробью, вычисления выполняются аналогично. Пример 4. 1)8|-1 = 7|: 2) 4 -i = (з + |)-1 = з1. Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели, то сначала нужно привести их к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание. Примерз. 4 —2 _ =4—2- = ^3 + -J-2- = l-. Напомним, что разность равных чисел равна нулю. Вычитать большее число из меньшего нельзя, оставаясь среди неотрицательных чисел. tin Как вычитают смешанные дроби? Вычислите (1002—1015). Д) СЕЯ а) 1-4: СЕПа) 12-у: СЕЭа) 12-^: 7 5 . 8 4 . D \ 17 11. г\ 17 2 . 12 ■ ■ 12’ о; 15 ■ ‘ 15’ о) 36 ■ ■ 36’ • 1 45 ■ ■ 45’ 5 1 . е) 5 5 . ж) 1 1 . 3) 3 4 48 ‘ » 12’ 12 ‘ ■ 18′ 14 ■ » 2Г 26 ■ » 39’ б) 21- 4 . 13’ 8)45-§: Г) 99 б) 36-^: в) 35 74 45’ г) 46 -1|. 62 221 I. О teUa) 8^-4; 4 б)б|-3; а>4Я.з: r) 9 ^ _ ^• ПУу 3. ^^^5 5’ -И- tE21a>9|-i; б) 8—: ‘ 16 8’ а) 101 1. 4’ ^>»^-4 n^ i’i ^9 1. ^ 36 9’ 5 6’ шиза) 5-1-2^; б) 12|-7у: “>«•1 -ЗА; 16’ г)4Я_4А; ‘ 19 19’ «> >^4-^4 “>^i -?А. 25 г) ll_l- СГШа) Cnna)4±-l|,; г)5-^-4-!в: ‘ 19 19’ tEtQa)4A_i|: «>4-1 • 4 2’ «>’H> Д) 9 «>’M- “>>44 “>>H- 3—5-: 7 7’ в) 7 —-2—: ^ 13 13’ 5 с 9 . 16 ^16’ ^-31; 5 5’ “>>^й-^4 ^>>«t->4 д) 27 — — 6 —: G) 23 — — 2 —. 39 13’ ‘ 34 17 СППа) 4^-3^; 30 20 6)14 —-1—; в)3 —-1—: ‘ 12 18’ 25 10’ ^>>^4->4 n)i3_L_io—: g)i6-?-_i2 — 18 12’ ‘ 25 15 “™«>4-4″4 в) 3—2- + -; ^ 8 4 2’ ^>3-^-1-f ™“>^f-(>44] в) 4 1 ^ ®^^45 ^5 5’ 222 ИССЛЕДУЕН СПЗ Дано выражение 3—-2 — — 3—-а. а) Каким числом надо заменить букву а, чтобы можно было устно найти значение этого выражения? б) Какое число а можно взять, чтобы значение данного выражения было равно нулю? Умножение и деление смешанных дробей Чтобы умножить или разделить смешанные дроби, можно :шпис,ать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями. Пример 1. 1) 2 — 2) 7-5- ^ 2 ll = 11..^ = ^ Л Г, ‘ Л 11-5 = 11 = 21; Л л 3 1 21. — — ^ 2

2 ’2“ 2*5“ = 3. 2-й 1 1 Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь возводят в степень. чЗ пример 2.(li)=(|> = |.|.| = |f| = В несложных случаях можно не записывать смешанные дроби в виде неправильных дробей. С помощью распре делите л ьнош закона можно упрощать вычисления. Пример 3. з1-2 = |з + 1|-2 = 3- 2 + 1- 2 = 6 + 1 = 6-1. 5 VS/ й •’» •’> Эти вычисления обычно записывают короче, умножая устно целую и дробную часгги смешанной дроби на 2: з1 2 = 6-^. Пример 4.(- + 3-]-2 = —2 + 3—2 = — + 6- = 1 + 6- = 7-. \2 Я) 2 Я 2 Я Я Я 223 гriasa 4. ООыкис-во»ш,-о Иногда с помощью распределительного закона можно коротко выполнить деление смешанной дроби на натуральное число. Пример 5. 3 у : 3 = 1 у. Здесь отдельно разделили целую и дробную части смешанной дроби па 3 (т. е. умножили на -^) и полученные результаты сложили: 7 I, 7; 3 3 7 3 7 7 Как умножают и делят смешанные дроби? Вычислите произведение (1018, 1019). ПИЗ а) 1-^-2; 5 б) 2-1 5 •3; в) 8-з1: 4 Г) з|-8; д) 2.5|: 4 e)2f •9: Ж) 12-5|; 312ifg. шла) if 1; б) 2|. 2. ‘ 3’ a.f4l; a)2f ж)7§.21; ПВЗДля чисел 1^, 2-1, 2-|, 1у укажите обратные им числа. 2 ПЗПа) Известно, что а-/> = 1, а Найдите Ь. 5 2 б) Известно, что а • 6 = 1, Ь = 2—. Найдите а. Могут ли два взаимно обратных числа одновременно являться смешанными дробями? Вычислите частное (1023, 1024). ПЗПа) 1^:2; б) 21: 3; 5 a)9:2f Г) з|:2; Д)2:б1; e)2f 7; Ж) 12:2|; 3) 2ll:5. ПШа) 5 5 A)2f lf; a)3f 11; *)2|:lf 224 ‘tjf’ ц;. м, Вычислите, используя распределительный закон (1025, 1026). а) lI.2 = fl + -l-2 = 1-2 + —2 = 2 + — = 2-: 2 < З) 3 33 б) 1^.2; e)2-5l; В) 2^-3: Э ж) 2|-9; г) 3^.3: 3)2-51; д) 2^-3: H)2f3. СШЭ • 2 = 3.2 = 6; 6) il.3 + 1.3; 5 5 в)2|.3-1.3: д) 21. - - 11.1; ^' 5 8 5 8’ ж) 4-i.7-L_6l- Ж14з ^"12 Вычислите (1027—1029). СЕЕПа) 4-j^.8^-6; 9 19’ ^' 7 12 4 7 2’ Ж) 1:14 :11^ : 1: 3 7 7 8 25 22 11 б)б1.1§.8: ' 8 2 16’ 3 .1 V 1 о ^ -32._2:2-- —+ 2-, 103 4 32 3’ (l5 ^ ^ 12) б)Г7--2--12-:-1:6 + 3- + 5-; Ч2 3 49j 8 7’ B)5l:6- + fl2:3---V- + 7-; 3 5 [ 5 2)2 5’ г) 21-^-|-Гз-^:^-1:1^1:2. 59 5 I, 28 28 49 j 3)l^:lJ- 16 48 1. 2’ о 1 . 2 2 .24 7 49 ■ 125 ■ 225 о ■%ini2a) в) д) 6) г) 20:2 —+ 25-:1 — 15 7 35. 7 ? ’ 21^:4^ -1 9 3 10 I, 10 20 J. 1:5 ll-j-sMfг) ' Представление дробей б1;9 + 24:---; — _4_______7 9 21 531_22 —:2- 3 15 3 е) •43 к 1 39 Н'-Аб -l■•20 + l:10 5 10 4 4 на координатном луче На координатном лу^ю можно изобразить любую дробь — 7 (рис. 167). Для этого надо — часть единичного отрезка отложить 7 р раз на координатном луче от точки 0. 4 Рис. 167 ^ 3 ^3 4 oj_AAi. — •i -f- -t- -f* 1 2 3 4 5 6 7 3 3 3 3 3 3 3 1 ‘i 1-^ ^ 2 ^ 4 2 2— 2-^ ^4 ^2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 4 4 4 4 4 4 4 4 226 ‘пез OOfJicHoeeMH..- -0 А В С D 0 1 1 ll 3 4 ^ 2 Рис. 168 говорят: «точка А Точку, изображающую на координатном луче дробь —, называют 7 точкой с координатой — или, корот-7 ко, точкой Например, точка А 7 (рис. 168) имеет координату —. Пишут 3 „ 1 с координатой — Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами, а точки, изображающие их на луче, называют положительными рациональными точками. Луч обычно располагают горизонтально и направляют вправо. Если а и Ь — два положительных рациональных числа и Ь>а, то: 1) точка h на координатном луче находится правее точки а; 2) расстояние между точками а ч h равно Ъ-а’ а Ь а I h В h 3) точка является серединой igg отрезка, соединяющего точки а и Ь (рис. 169). В самом деле, чтобы вычислить координату точки С — середины отрезка АВ, надо к числу а прибавить половину длины отрезка АВ: ()-а _ 2а h-а _ 2а t h-а _ а i Ь ^ ^ 2 “ Т’*’ 2

2 “ 2 3 Пример. Найдём длину отрезка, соединяющего точки а = — 5 и Ь = 1, и координату середины этого отрезка. Очевидно, что — еки; б) против течения реки? Решение. Примем всё расстояние между пристанями Л и Л за единицу, тогда за 1 ч плот проплывает по реке 1 12 = — 12 этого расстояния, а теплоход за 1 ч проплывает по озеру 1:4 = ^ такого же расстояния, а) За 1ч по течению 3/, реки теплоход проплывает — + —- = -I 1 лп = — = — расстояния ЛЛ, за 1 : = 3 ч. 3 значит, расстояние Л Л он проплывает 3/1 J б) За 1 ч против течения реки теплоход проплывает т “ ТТТ = Л 12 2 1 ЛЛ, значит, расстояние ЛЛ он проплывает = -j-^ = — ргюстояния за 1 : — = 6 ч. G Ответ: а) за 3 ч; б) за 6 ч. Задача 2. Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки — за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту, чтобы преодолеть такое расстояние по реке? Решение. Примем всё расстояние за единицу. 1) 1:6 = -^ (расст.) — проплывает катер по озеру за 1 ч; 6 235 ‘“тап 4. Обыкново»аис цмХл’ 2) 1 : 5 = — (расст.) — проплывает катер по течению реки за 1 ч; 04 1 1 1 / ч 1 1 3) —-= — (расст.) — па — расстояния за 1 ч относит по те- чению катер (плот); 4) 1 : = 30 (ч) — будет плыть плот это расстояние по реке. 30 Ответ: 30ч. Расстояние между пристанями Л и Л на реке плот проплывает за 6 ч, а теплоход проплывает по озеру такое же расстояние за 3 ч. За сколько часов теплоход проплывает расстояние между пристанями Ли/?: а) по течению реки; б) против течения реки? Расстояние между пристанями Л и /? на реке бревно проплывает за 12 ч. Теплоход проплывает расстояние ЛИ по течению реки за 3 ч. За сколько часов теплоход проплывёт расстояние Л/?: а) по озеру: б) против течения реки? Расстояние между пристанями Л и /? на реке плот проплывает за 15 мин. а катер проплывает расстояние АВ против течения реки за 30 мин. За сколько минут катер проплывёт расстояние л/?: а) по озеру; б) по течению реки? Расстояние между пристанями Ли/? катер проплывает по течению реки за 8 мин, а такое же расстояние по озеру — за 12 мин. За сколько минут проплывёт расстояние между пристанями Л и /?: а) плот; б) катер против течения реки? Расстояние между пристанями Лий моторная лодка проплывает против течения реки за 30 мин, а такое же расстояние по озеру —за 10 мин. За сколько минут проплывёт расстояние между пристанями Л и /?: а) плот; б) моторная лодка по течению реки? Расстояние между пристанями Ли/? моторная лодка проплывает по течению реки за 15 мин, а против течения — за 60 мин. За сколько минут проплывёт то же расстояние: а) бревно по реке; б) моторная лодка по озеру? а) Теплоход от Киева до Херсона идёт трое суток, а от Херсона до Киева — четверо суток (без остановок). Сколько времени будут плыть плоты от Киева до Херсона? б) Из Нижнего Новгорода в Астрахань теплоход плывёт 5 суток, а обратно —7 суток. За сколько суток из Нижнего Новгорода в Астрахань приплывут плоты? 236 Прнд’-мыаяьм зядя‘-у t Каким натуральным числом можно заменить букву а в условии задачи, чтобы ответ выражался натуральным числом? Найдите несколько таких чисел. Из пункта Л в пункт п против течения реки теплоход плывёт 20ч. А из пункта R в пункт Л—яч (6 актических расчётах использовали дроби 1 1 1 1 тт с числителем 1: —, —, — и т. д. Для них существовали специальные 2 4 8 обозначения. Дроби с числителем, отличным от единицы (кроме 238 iji ц. дроби —), появились значительно позже. Поэтому, например, дробь 5 1 1 — выражали как сумму двух дробей: ^ В Индии дроби записывали так же, как мы это делаем сейчас, но черту дроби не писали. Дроби отделяли друг от друга вертикальными и горизонтальными линиями. Например, дробь запи- сывали так Знака «+* для записи суммы в то время ещё не существовало. 1 2 4 и сумму — н— + — записывали так: ^2 3 5 Кроме обыкновенных дробей, в Индии умели записывать и сме- ¥ шанные дроби. Дробь 3— записывали так: Целую часть писали над дробью. Иногда целое число изображали дробью со знаменателем 1. 3 2 1 5 что соответствовало Ту же дробь 3— записывали так: 5 3 2 2 сумме — -f- —, или 3 -н —. 15 5 Одним из примеров практического применения дробей может служить нотная запись в музыке. Здесь фактически используется понятие Д1юби и даже сложение дробей. Так, длительности поло- « 111 винные, четвертные и восьмые соответствуют дробям —, —, —, 2 4 8 а схема длительностей (рис. 175) соответствует суммам — = 2 4 4 1 = 1 1 4

8 8‘ Схема длительностей Рис. 175 1 \ ^ — половинная J J — четвертная ^ /\ ^— восьмая ^ ^ 239 4. о ал* Обозначение J* длительности наполовину. Например (нота с точкой) используется для увеличения , что соответству- Музьпсальное произведение состоит из одинаковых по длительности отрезков — тактов. Длительность каждого такта определяет его размер. Он обозначается дробью, так как нижняя цифра обозначает длительность доли (на рисунке 176 — четвертная), а верхняя цифра — количество долей в такте (две доли). Отличие заключается в том, что черту дроби не пишут и дробь не сокращают. RirJi I -ty iTITIIT CCS3B старых русских руководствах по арифметике использовали такие названия дробей: 4- — половина, 4 — четь, 4 — полчеть, 2 4 8 4г — полполчеть, -4т — полполполчеть. 16 32 Определите, каким дробям соответствовали тогда названия: треть, полтреть, полполтреть, полполполтреть. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Купил полторажды полтора аршина, дал полтретьяжды полтретьи гривны. Сколько надо дать за полдевятажды полдевята аршина? 1- .. и и е. На Руси некоторые смешанные дроби имели свои названия: 1 ^ — полтора, 2 — полтрети, 3 ^ — полчетвер- та, 4 ^ — полпята и т. Д- В задаче упоминаются произведения дробей: 2 2 24-24: 2 2 8 4 • 8 4- 2 2 240 г .’tpri iMiJI Ц. Ананий из Ширака (Армения, Vila.). В городе Афины был водоём, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоём за один час, другая, более тонкая, — за два часа, третья, ещё более тонкая, — за три часа. Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоём. ■|риг,1С“ а ” «О, Ананий дал такой ответ: j Ис- ^ пользуйте его для проверки своего решения. AciViP За 11 к. куплены одна пятириковая и одна шестириковая стеариновые свечи. Сколько стоит фунт стеариновых свечей? (Пятириковая свеча весила а шестириковая —фунта.) ,/^EQ Из египетских папирусов, а) Количество и его четвёртая часть дают вместе 15. Найдите количество, б) Число и его половина составляют 9. Найдите число. Составьте задачу, аналогичную египетским задачам, и решите её двумя способами. Разделите полтину на половину. Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей: — + + а h ч —+ —, где а, ь, с, f/ —нечётные натуральные числа? ___ ^ ^ Ы’У/ Р Задача-шутка. Из верхнего угла комнаты вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла вниз и вверх с одинаковой скоростью, а вторая муха хоть и поднималась в два раза медленнее первой, но зато спускалась вдвое быстрее её. Какая из мух раньше приползёт обратно? СЗПа) На столе лежало несколько книг. Когда взяли половину всех книг и ещё одну книгу, то осталось две книги (рис. 177). Сколько книг лежало на столе первоначально? Рис. 177 было-? Е осталось 241 г ‘.’ш.’! 4. OijiJKiiO.! Рис. 178 дочери осталось б) Мама дала детям конфеты; дочери половину всех конфет и ещё одну (рис. 178), сыну половину остатка и последние 5 конфет. Сколько всего конфет мама дала детям? ! а) Отец даёт денег своим детям. Старшему — половину всего и 1 р., среднему — половину остатка и ещё 1 р., младшему — половину остатка и последние 3 р. Сколько было денег? б) Крестьянин, покупая товары, уплатил первому купцу половину своих денег и ещё 1 р.; второму купцу половину оставшихся денег да ещё 2 р. и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да ещё 1 р. После этого денег у крестьянина совсем не осталось. Сколько денег было у крестьянина первоначально? СЕПЗа) У Васи есть три шоколадки (рис. 179). Он утверждает, что сможет взять половину имеющегося шоколада и ещё полшоколадки, не ломая ни одной из них. Сможет ли Вася выполнить своё обещание? Если сможет, то как? Рис. 179 б) В вазе лежало 5 яблок. Мальчик взял половину всех яблок и ещё пол-яблока. Сколько яблок взял мальчик? в) В коробке лежали карандаши. Сестра взяла половину всех карандашей и ещё полкарандаша. Остальные 4 карандаша взял брат. Сколько карандашей было в коробке первоначально? Крестьянка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у неё половину яиц и ещё пол-яйца, вторая — половину остатка и ещё пол-яйца, а третья — последние 10 яиц. Сколько яиц принесла крестьянка на рынок? 242 К табун1цику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей, — сказал табунщик, — первому продам я полтабуна и ещё половину лошади, второму — половину оставшихся лошадей и ещё пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей и ещё пол-лошади. Себе же оставлю только 5 лошадей». Удивились казаки: как это табунщик будет делить лошадей пополам? Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков? У Саши на дне рождения было 5 друзей. Первому он отрезал 4- часть пирога, второму —остатка, третьему —^ того, что 6 5 4 осталось, четвёртому — ^ нового остатка. Последний кусок Саша разделил поровну с пятым другом. Кому достался самый большой кусок? а) В нашем классе есть певцы и танцоры: ^ всех певцов ещё и танцует, а 4- танцоров ещё и поёт. Кого у нас в классе боль-4 ше: певцов или танцоров? б) В делегации иностранных гостей говорящих по-английски 6 говорит и по-немецки, а 4 говорящих по-немецки говорит и 5 по-английски. Кого больше: говорящих по-немецки или говорящих по-английски? в) В делегации иностранных гостей 4 англичан знала немецкий О язык, а J немцев знала английский. Кого в делегации больше: немцев или англичан? Можно ли ответить на вопрос задачи? Легковая машина может проехать расстояние между двумя городами за 3 ч. а грузовая — за 5 ч. Машины выехали из этих городов одновременно навстречу друг другу. Через сколько часов после начала движения они встретятся? Задача Метродора. Корона весит 60 мин (греческая мера веса и денег) и состоит из сплава золота, меди, олова и железа. 2 3 Золото и медь составляют —, золото и олово ——, золото и 3 железо — — общего веса. Определите вес каждого металла в отдельности. 1 243 4. О СППЗа) Вася сказал, что у них в классе 35 учащихся, причём всех учащихся девочки. Папа сказал, что такого не может быть. Почему? О б) Известно, что — класса учится на «4» и «5». Сколько уча- 15 щихся может быть в классе? 1 3 в) Известно, что — класса — отличники, а — класса — девочки. о о Сколько учащихся может быть в классе? 3 1 г) Известно, что — класса— девочки, — 5 7 ИЗ НИХ — ОТЛИЧНИЦЫ. Сколько учащихся может быть в классе? %ГЕ1 а) В классе послушных девочек столько же, сколько непослушных мальчиков. Кого в классе больше: послушных детей или мальчиков? б) В классе высоких мальчиков столько же, сколько невысоких девочек. Кого в классе больше: высоких детей или девочек; невысоких детей или мальчиков? ‘■ЕЗЦва охотника отправились одновременно навстречу друг другу из двух деревень, расстояние между которыми 18 км. Первый шёл со скоростью 5 км/ч, а второй — 4 км/ч. Первый охотник взял с собой собаку, которая бежала со скоростью 8 км/ч. Собака сразу же побежала навстречу второму охотнику, встретила его, повернула и с той же скоростью побежала навстречу своему хозяину. Встретила его, повернула и побежала навстречу второму охотнику и т. д. Так она бегала от одного охотника к другому, пока те не встретились. Сколько километров пробежала собака? Вычислите: 92-93-94 — 91-92-93 93.94.95-92-93.94′ СЕЗЗПапа и сын стартовали одновременно на двух соседних дорожках плавательного бассейна. Папа первым доплыл до конца дорожки, развернулся и поплыл навстречу сыну. Через сколько минут после старта они встретятся, если длина дорожки бассейна 25 м и скорости папы и сына равны 14 м/мин и 11 м/мин соответственно? 244 а) Летела стая гусей. На первом озере села половина стаи и ещё полгуся, а на втором — остальные 8 гусей. Сколько гусей было в стае? б) Над озёрами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и ещё полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озёрах. Сколько было гусей? tiill Первый рабочий выполнил зада- 4 ния, второй — ^ остатка, третий — остатка, а четвёртый выполнил задание до конца. Какой из рабочих выполнил больший объём работы? %ТТР На первом экзамене в институт получили двойки у всех абитуриентов, на втором экзамене —остальных абитуриентов. О на третьем экзамене — ^ оставшихся абитуриентов. Какая часть У всех абитуриентов сдала три экзамена без двоек? 245 Глава 4. ООыкноеоиныо _%poC>i’ _ зядяния для поятаясяня Выполните действия (1094—1100). в) 615 + 876; е) 284-139; в) 74 • 506; е) 276:23; rrm а) 325 + 723; б) 729 + 628; г) 359 + 987; д) 354 — 221; ж) 923-281; з) 725-189. ГТТРа) 39-48: 6)75-324; г) 708 • 807; д) 294:7; ж) 2842 : 49; з) 11 328:16. СЕЯа) 450-240-1200-45-4500-12 + 5; б) (4750: 19- 19- 13)-84-242; в) (723 600 :90 — 40 — 201 )•( 1234 • 4321 — 1999) + 5; г) 1998-1999-1998^^-1993. еттт? а) 9357 — 7288 + 3579 + 7290 — 3578; 6) 5544 : 88 — 5481 : 87 3-9’ ^ 25 15’ r)il—ll; ‘ 80 90’ Д)5-2А; е)81-з1 а) — ’ 3 2 . ®> S’W Г) 5. А; д) — • 1 ^’5 3’ e)3flf ШПа) 4:|; 5 7 6)i^:li; ‘ 46 23’ В) 8:|; г) — : 9; ‘и ’ Д) 8 — : 3 9’ е)з1:2. 3‘ Из «Сборника арифметических задач и численных примеров» В. А. Евтушевского. Выполните действия (1115—1135). —ГШ 340 29 43 74 Г 53 37 W3 12^ 567 42 54 81 “V60 84 J il4’^35j’ 248 f р р I ■ j3«4 *1 ® ^ mn tJt-9 +12

Игрушка для кошек мяч сахарный 4см v 628 75 петлайн

Проверочные и контрольные работы по математике

Мелочи для дома 118. Товары для дома, дачи, косметика и много всего полезного. Архив

Мелочи для дома 118. Товары для дома, дачи, косметика и много всего полезного. Архив

Математика 5 класс Учебник Никольский Потапов

Похожие сообщения

Воспаление ранки после укуса кошки какие антибиотики пропитьВоспаление ранки после укуса кошки какие антибиотики пропить

Есть ли у котов молочные железы или только у кошекЕсть ли у котов молочные железы или только у кошек

Швы после стерилизации у кошки снимают под наркозомШвы после стерилизации у кошки снимают под наркозом